解答圆锥曲线中定值定点问题的思路

刘琳

在我们的印象中，圆锥曲线中定值定点问题的计算繁琐，求解的思路难找，很多同学在解答圆锥曲线中的定值定点问题时，经常会无法顺利求得问题的答案.其实解答圆锥曲线中定值定点问题的关键是，从题目中的原始量，也就是题设中的点或者线入手，其他的点或者线都是根据原始量作相应的变动得到的，所以抓住原始量是解题的关键.下面我们通过几个例题来谈一谈如何寻找解题的切入口，找到原始量，并假设变量，解答圆锥曲线中的定值定点问题.

例1

分析：

证明：

我们可根据题意寻找原始量，也可根据绘制的图象来确定.找准原始量后，便可用其表示相关的变量.虽然圆锥曲线问题的运算量大，解题过程繁琐，但是我们只要理清了解题的思路，便能节约很多时间.

例 2.

分析：第一个问题较为简单，我们将点 A 的坐标代入椭圆方程中，化简就可以得到，从而得到圆锥曲线的方程为 .第二个问题有一定的难度，题目的条件比较复杂，不易看出各条件之间的关系.这里A是一个定点，点D是根据MN的位置来确定的，所以直线MN是原始量，探究MN直线具有怎样的性质是解题的关键.

证明：设直线 MN 的方程为，将 y = kx + m 与椭圆的方程联立可得，满足题意.

圆锥曲线中的定值定点问题主要考查的是点或者直線与圆锥曲线的位置关系.如果点是原始量，那么点必是原始的动点，同时可以用点的坐标表示其他的量.如果直线是原始量，在解题的过程中为了方便还要设出点的坐标，再用韦达定理进行求解.圆锥曲线问题是解析几何中的难点，可结合几何图形进行分析，找到原始量，通过层层分析，抽丝剥茧，找到问题的本质.

本文系江苏省教育科学“十三五”规划 2020 年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”阶段研究成果.

（作者单位：江苏省泰兴中学）