对象导出三支概念格上的冲突分析

史建坤，胡舒淋，智慧来

1(河南理工大学 计算机科学与技术学院，河南 焦作 454003)

2(黄河交通学院 智能工程学院，河南 焦作 454950)

1 引 言

随着社会的不断发展，因分配不均等原因导致的冲突问题日益增多.冲突作为人类社会的重要特征之一，在人们的日常生活、工作中发挥着重要作用[1].因此，对冲突进行分析，将冲突转化为合理的模型从而对冲突过程进行分析，可以有效地解决冲突，将各方的损失降到最小，使多方获利，也有助于决策者做出正确的决策.目前已有很多学者对冲突分析进行了一系列的研究并且取得诸多成果.例如，Pawlak[2]于1998年提出了一种基于粗糙集理论的冲突分析模型，指出冲突分析主要研究的是将局中人按对争端问题的不同态度划分为不同的集合，并帮助决策者做决策.在Pawlak冲突模型的基础上，Gao等[3]引入每个局中人的信息系统和可行性方案、全局可行性方案和冲突系统的约束条件，得到一个新的基于粗糙集的冲突模型，最后设计出一个算法来求解冲突系统的可行方案.Zhi等[4]将三支概念分析和冲突分析相结合，提出了基于近似三支概念格的冲突分析方法，定义对象集的一致属性、冲突属性、中立属性和冲突度来进行冲突分析，并提出一个渐进式算法来解决动态信息系统中的冲突分析.Lang等[5]利用决策粗糙集理论计算了冲突分析中的阈值并定义概率冲突集、概率中立集和概率一致集，接着提出了在动态信息系统中计算概率冲突集、概率中立集和概率一致集的渐进式算法.Sun等[6，7]提出了一个基于双论域粗糙集的冲突分析模型.在此基础上，定义了新的冲突分析矩阵，用矩阵计算冲突的最优可行共识策略，有助于解决现实中的冲突问题.此外，Sun等[8]还研究了双论域模糊粗糙集上的上、下近似，并将其应用到应急决策中.

形式概念分析是德国数学家Wille提出的一种数学理论，现如今已经成为粒计算中最重要的工具之一，且在许多领域都得到了广泛的应用.形式概念分析(FCA)的输入数据是一个称为形式背景的表，它由一个非空有限对象集、一个非空有限属性集和它们的二元关系组成.从形式背景中获得的基本数据结构称为概念格，它由所有的概念连同特化-例化关系构成.形式概念分析中的概念只描述了对象集共同具有的属性，然而对象集共同不具有的属性并没有直观的显示出来.Yao于2012年提出三支决策理论[9，10]，将待解决的问题分为接受、拒绝和不承诺3个部分，为广大学者提供了科学研究的思想方法.于是Qi将三支决策与形式概念分析相结合，提出了三支概念分析(3WCA)这一新理论[11].此外，在可能性理论的启发下，学者们分别提出了对象导出三支概念、属性导出三支概念[11，12]、对偶三支概念[13]和近似三支概念[14，15]来满足更具体的需求.目前已有很多学者对三支概念分析进行了一系列的研究并且取得诸多成果[16].例如，Qi[12]等研究了对象(属性)导出三支概念格和经典概念格的联系，并提出了基于经典概念格构建对象(属性)导出三支概念格的算法，用来快速构建三支概念格.Shivhare等[17]描述了基于三支概念分析的记忆认知过程.Singh[18]提出了模糊三支概念格，并将其应用到医学诊断.Ren等[19]研究了对象导出三支概念格和属性导出三支概念格的属性约简问题及计算方法.Qian等[20]提出了一种结合子格生成三支概念格的方法，有效地提高了构造三支概念格的效率.

基于粗糙集理论的冲突分析能够有效地刻画局中人之间的冲突关系.但是，利用粗糙集理论进行的冲突分析只是两个局中人之间的冲突状态，不能有效地刻画与分析多个局中人的冲突状态.然而在现实生活中，有必要分析多个局中人之间的冲突.对象导出三支概念格中的三支概念正好描述了对象集共同具有和共同不具有的属性，若将形式背景中的属性认作争端问题，则对象导出三支概念能刻画对象群体共同支持和共同反对的争端.针对这一问题和实际应用的需要，本文将三支概念分析与冲突分析相结合，提出基于对象导出三支概念格的冲突分析方法.

本文构造信息系统诱导的形式背景及其对象导出三支概念格，根据对象导出三支概念来计算对象集合的一致属性、中立属性、冲突属性，以得到对象集合状态的直观描述，并进行冲突分析.最后，用实例详细地说明了基于对象导出三支概念格的冲突分析方法.

2 预备知识

下面介绍涉及到的相关概念.

2.1 三支概念分析

定义1[12].设三元组K=(G，M，I)为形式背景，其中G为非空有限对象集，M为非空有限属性集，I为笛卡尔积G×M上的二元关系.I(x，a)=1表示对象x拥有属性a，I(x，a)=0表示对象x不拥有属性a.

对于形式背景中的对象子集X∈2G和属性子集A∈2M，定义一组正算子*：2G→2M和*：2M→2G如下所示：

X*={a∈M|∀x∈X，I(x，a)=1}

(1)

A*={x∈G|∀a∈A，I(x，a)=1}

(2)

(3)

(4)

定义2[12].设K=(G，M，I)为形式背景，对于X∈2G，(A，B)∈2M×2M，定义一组三支算子·>：2G→2M×2M和<·：2M×2M→2G如下所示：

(5)

(6)

定义3[12].设K=(G，M，I)为形式背景，X∈2G，(A，B)∈2M×2M.如果X·>=(A，B)且(A，B)<·=X，则称(X，(A，B))为一个对象导出三支概念.其中X和(A，B)分别为对象导出三支概念(X，(A，B))的外延和内涵.

设(X1，(A1，B1))和(X2，(A2，B2))是形式背景K=(G，M，I)的两个对象导出三支概念，若X1⊆X2或(A1，B1)⊇(A2，B2)，则称(X1，(A1，B1))是(X2，(A2，B2))的特化概念，(X2，(A2，B2))是(X1，(A1，B1))的泛化概念.记对象导出三支概念之间的特化-泛化关系为″≤″.

定义4[12].形式背景K=(G，M，I)中所有的对象导出三支概念连同特化-泛化关系构成一个完备格，称为对象导出三支概念格，记做OEL(K).

2.2 冲突分析

定义5[1].设三元组S=(U，V，R)是一个信息系统，其中U为非空有限对象集，V为非空有限属性集，R为笛卡尔积U×V上的二元关系，且取值范围为{-1，0，1}.具体地，U中的元素表示局中人，V中的元素表示争端问题.其中R(x，a)=1代表局中人x对争端a持支持态度，R(x，a)=0代表局中人x对争端a持中立态度，R(x，a)=-1代表局中人x对争端a持反对态度.

定义6[4].设S=(U，V，R)是信息系统，其中X⊆U，a∈V且|X|>1，定义一致性测量函数：

在一致性测量函数φa(X)中，φa(X)=1代表对象集X中所有局中人对争端a持相同态度.φa(X)=-1代表对象集中存在两个局中人对于争端a持相反态度.φa(X)=0代表对象集中存在局中人对争端a持中立态度且其余局中人对争端a持相同态度.

定义7[4].设S=(U，V，R)是信息系统，定义信息系统中的一致属性λ(X)，冲突属性μ(X)和中立属性γ(X)分别为：

λ(X)={a∈V|∀xi，xj∈X，R(xi，a)=R(xj，a)}

(7)

μ(X)={b∈V|∃xi，xj∈X，R(xi，b)×R(xj，b)=-1}

(8)

γ(X)=V-λ(X)∪μ(X)

(9)

定义8[4].设S=(U，V，R)是信息系统且X⊆U，定义对象集X的冲突度为：

(10)

定义9[4].设S=(U，V，R)是信息系统，X⊆U且|X|>1，定义对象集X的状态：

1)若m(X)>0.5，则称X为冲突状态；

2)若m(X)=0.5，则称X为中立状态；

3)若m(X)<0.5，则称X为同盟状态.

3 三支概念分析视角下的冲突分析

在本小节中提出一种新的基于对象导出三支概念格的冲突分析方法.

信息系统S=(U，V，R)中对象和属性的关系有R(x，a)=1，R(x，a)=0，R(x，a)=-1这3种情况.然而，经典的形式背景中对象和属性的关系是二值的.因此，需要将原信息系统等价地转化为两个形式背景K+=(G，M，I+)与K-=(G，M，I-).其中，G=U，M=V，I+与I-分别为：

为论述方便起见，在下文中称K+=(G，M，I+)与K-=(G，M，I-)是信息系统S=(U，V，R)诱导的形式背景.

定义10.设K=(G，M，I)是形式背景，X⊆G且|X|>1，定义函数α(X)={a∈M|∀xi，xj∈X，I(xi，a)=I(xj，a)}.

定义11.设K=(G，M，I)是形式背景，X⊆G且|X|>1，定义函数β(X)={b∈M|∃xi，xj∈X，I(xi，b)≠I(xj，b)}.

定理1.设K=(G，M，I)是形式背景且(X，(A，B))∈OEL(K).则α(X)=A∪B，β(X)=M-A∪B.

由定义10、定义11可知M=α(X)∪β(X)，现已证明α(X)=A∪B，那么容易得出β(X)=M-A∪B.

在定理1中，α(X)和β(X)均和对象导出三支概念的内涵有关，然而对象导出三支概念格中的概念只能描述部分对象集X的α(X)和β(X).下面给出每一个对象集X对应的对象导出三支概念.

设K=(G，M，I)是一形式背景，规定Π={X|(X，(A，B))∈OEL(K)}，即Π为对象导出三支概念格OEL(K)中概念的外延集合.接着给出对象集X的函数

通过上述讨论给出了一个用对象导出三支概念来描述任意对象集X的方法，下面定理2证明了其正确性.

定理2.设K=(G，M，I)是形式背景且X⊆G，则m(X)=m(f(X)).

证明：证明可以分成两部分.

1)若X∈Π，很明显m(X)=m(f(X)).

定理3.设S=(U，V，R)是信息系统且K+=(G，M，I+)和K-=(G，M，I-)是信息系统S诱导的两个形式背景，则

λ(X)=α+(X)∩α-(X)；

μ(X)=β+(X)∩β-(X)；

γ(X)=V-λ(X)∪μ(X).

其中，α+(X)，β+(X)是定义在K+=(G，M，I+)上的α与β函数，α-(X)，β-(X)是定义在K-=(G，M，I-)上的α与β函数.

由定理1可得β+(X)=M-α+(X)，β-(X)=M-α-(X)，故同理可证得μ(X)=β+(X)∩β-(X)，那么容易得出γ(X)=V-λ(X)∪μ(X).

接下来，我们提出基于对象导出三支概念格的冲突分析方法，首先将信息系统的中立态度进行修改得到K+和K-两个形式背景，使用文献[12]中的方法快速构造OEL(K+)和OEL(K-)，通过使用对象导出三支概念格中的概念来计算每个对象集X的α+(X)、α-(X)、β+(X)、β-(X)，接着由定理3计算出对象集X在原信息系统中的一致属性λ(X)，冲突属性μ(X)和中立属性γ(X)，最后计算对象集X的冲突度m(X).根据上述讨论，提出算法1进行冲突分析.

算法1.基于对象导出三支概念格的冲突分析

输入：信息系统S=(U，V，R).

输出：每个对象集X的冲突分析结果.

1.将信息系统S=(U，V，R)等价地转化为两个形式背景K+=(G，M，I+)与K-=(G，M，I-).

2.分别构造对象导出三支概念格OEL(K+)和OEL(K-).

4.由定理1、定理3和定义8分别计算对象集X的α+(X)，α-(X)，β-(X)，β+(X)，λ(X)，μ(X)，γ(X)和m(X).

5.确定对象集X的状态并输出分析结果.

4 案例分析

为了验证算法1的可行性，下面提出一个实例来说明基于对象导出三支概念格的冲突分析方法，并根据冲突分析结果对冲突做出解决策略.

例.表1是一个信息系统S=(U，V，R)，描述了一个赴美旅游团的5名中国游客及其想要去旅游的目标城市.具体来说，对象集U由5名中国游客所组成，属性集V由5个目标城市组成，其中a代表纽约，b代表华盛顿，c代表拉斯维加斯，d代表洛杉矶，e代表西雅图.R(x，a)=1代表游客x对去a城市旅游持支持态度，R(x，a)=0代表游客x对去a城市旅游持中立态度，R(x，a)=-1代表游客x对去a城市旅游持反对态度.以游客4为例，游客4对去纽约(a)，拉斯维加斯(c)和洛杉矶(d)旅游持支持态度，对去华盛顿(b)旅游持中立态度，对去西雅图(e)旅游持反对态度.目前有两种情况分别是：由于旅游团对游客进行优惠酬宾活动，导致旅游的费用下降，于是游客们对持中立态度的旅游城市都改为了支持态度；由于资金紧张，游客们统一决定不再前往持中立态度的城市旅游观光.

表1 信息系统S=(U，V，R)

对于出现的两种情况需要对信息系统S=(U，V，R)进行修改，即将R(x，a)=0(∀x∈U，∀a∈V)的项处理之后得到两个形式背景K+和K-，如表2和表3所示，其中形式背景K+满足第1种情况，K-满足第2种情况.形式背景K+和K-构建的对象导出三支概念格OEL(K+)和OEL(K-)如图1和图2所示.

表2 形式背景K+

图1 对象导出三支概念格OEL(K+)

图2 对象导出三支概念格OEL(K-)

表3 形式背景K-

在形式背景K+构成的OEL(K+)中，所有的对象导出三支概念都代表了在第1种情况下游客们想去和不想去的旅游城市.例如对象导出三支概念(245，(bd，e))表示的意义是：游客2、游客4和游客5都对前往华盛顿(b)和洛杉矶(d)旅游持支持态度，都对前往西雅图(e)旅游持反对态度.

在形式背景K-构成的OEL(K-)中，所有的对象导出三支概念都代表了在第2种情况下游客们想去和不想去的旅游城市.例如对象导出三支概念(134，(a，b))表示的意义是：游客1、游客3和游客4都对前往纽约(a)旅游持支持态度，都对前往华盛顿(b)旅游持反对态度.

由算法1经计算得到的冲突分析结果如表4所示，形式背景K+、K-的α(X)，β(X)和信息系统的λ(X)，μ(X)，γ(X)及冲突度m(X)在表4中直观的显示出来.容易计算出5个对象的对象集X个数为26个，因此表4中对象集X的个数为26个.在表4的分析结果的基础上，可以提出以下策略来解决冲突：

表4 例1的冲突分析结果

1)若想降低对象集X的冲突度，可以游说对象集X中局中人改变对冲突属性的态度来实现.这一举动可以提高对象集X的一致性，可用于联盟，团队之间增强凝聚力.在第1种情况下，对于对象集{1，3}，参考对象导出三支概念(13，(ae，d))及形式背景K+，也可以说服游客1对去拉斯维加斯(c)旅游持反对态度，或者劝说游客3对去拉斯维加斯旅(c)游持支持态度.在第2种情况下，对于对象集{1，3，4}，参考对象导出三支概念(134，(a，b))及形式背景K-，可以说服游客3对前往拉斯维加斯(c)旅游持支持态度，也可以说服游客4对前往洛杉矶(d)旅游持反对态度.

2)若想提高对象集X的冲突度，可以游说对象集X中局中人改变对一致属性的态度来实现.这一决策可以降低对象集X的一致性，可用于瓦解对手联盟凝聚力，使联盟关系更微妙，更容易战胜.在第1种情况下，对于对象集{2，4，5}，参考对象导出三支概念(245，(bd，e))及形式背景K+，可以说服游客2对前往华盛顿(b)旅游持反对态度，也可以说服游客4对前往西雅图(e)旅游持支持态度.在第2种情况下，对于对象集{3，4}，参考对象导出三支概念(34，(a，be))及形式背景K-，可以说服游客3对前往纽约(a)旅游持反对态度，也可以说服游客4对前往华盛顿(b)旅游持支持态度.

实例结果表明基于对象导出三支概念格的冲突分析方法可以实现对多个局中人进行冲突分析，并且可以根据冲突分析结果提出相关的解决策略.

5 结 论

本文将冲突分析和三支概念分析相结合，得到了一种新的基于对象导出三支概念格的冲突分析方法.在此方法中，先将信息系统S等价地转化为两个形式背景K+和K-，然后通过定义中间变量α(X)和β(X)，最后计算出原信息系统中的一致属性、中立属性、冲突属性和冲突度.基于对象导出三支概念格的冲突分析方法能更直观的表达每个对象集的冲突信息，使得决策者能够快速准确的做出决定.后期的工作将着重考虑如何使用三支概念格模型来解决动态信息系统中的冲突分析.