也谈二次无理数展成多重特定无穷连分数

孔庆海

【摘要】文章给出了把二次无理数展成其整数部分与一个特定二重无穷循环连分数的和，以及展成其整数部分与一个特定三重无穷循环连分数的和，给出部分常用展式，并给出了两个有趣的事实， 希望能激发学生学习数学的兴趣.

【关键词】无理数;二重无穷连分数;三重无穷连分数

定理1设a，b是正整数，且b≤a，则二重无穷连分数

ba+ba+ba+… =a2+4b2-a2.

证设这个二重无穷连分数的值为k，

显然 0

于是k=a2+4b2-a2，

即ba+ba+ba+…=a2+4b2-a2，

或a2+4b2=a2+ba+ba+ba+….

于是只要取合适的正整数a，b（b≤a）的值，就可以把二次无理数展成一个正整数与特定二重无穷循环连分数的和的形式.只要取a=2n，n∈N+，显然可得到下面的推论.

推论

n2+b=n+b2n+b2n+b2n+…，（b≤2n）.

为方便，将上式记作

n2+b=（n|b，2n），b≤2n.

于是有如下展式：

2=1+12+12+12+…，（n=1，b=1），

记作2=（1|1，2）;

3=1+22+22+22+…，（n=1，b=2），

记作 3=（1|2，2），

类似地，

5=（2|1，4）， 6=（2|2，4），

7=（2|3，4）， 8=（2|4，4），

10=（3|1，6）， 11=（3|2，6），

12=（3|3，6）， 13=（3|4，6），

14=（3|5，6）， 17=（4|1，8），

18=（4|2，8），19=（4|3，8），

20=（4|4，8），21=（4|5，8），

22=（4|6，8），23=（4|7，8），

……

10001=（100|1，200），

1234400=（1111|79，2222）.

定理2设a，b，c是正整数，且b≤a，b≤c，a≠c，

则三重无穷连分数

ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2.

证设这个三重无穷连分数的值为k，

显然 0

于是k=a2c2+4abc2a-c2，

即ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2，

或c24+bca=c2+ba+bc+ba+bc+b….

特別地，取c=2n，n∈N+， 显然可得到下面的推论.

推论

n2+2bna=n+ba+b2n+ba+b2n+b…，（b≤a，b≤2n，a≠2n）.

为方便，将上式记作

n2+2bna=（nb，a，b，2n），a≠2n，b≤a，b≤2n.

这样，只要取合适的正整数a，b，n的值，就可以把某些二次无理数展成一个正整数与特定三重无穷循环连分数的形式.有趣的是：（1）符合这种特定要求的展法不唯一;（2）有的无理数不能展成这种特定要求三重无穷循环连分数的形式，例如7，14，21，23等.

下面是一些无理数展成上述三重无穷连分数的形式.

2=1+24+22+24+22+…，（n=1，a=4，b=2），

记作 2=（1|2，4，2，2）;

3=1+11+12+11+12+…，（n=1，a=b=1），

记作 3=（1|1，1，1，2）.

类似地，

5=（2|b，4b，b，4），（b=2，3，4），

6=（2|b，2b，b，4），（b=1，3，4），

8=（2|b，b，b，4），（b=1，2，3），

10=（3|b，6b，b，6），（b=2，3，4，5，6），

11=（3|b，3b，b，6），（b=1，3，4，5，6），

12=（3|b，2b，b，6），（b=1，2，4，5，6），

13=（3|2b，3b，2b，6），（b=1，3），

15=（3|b，b，b，6），（b=1，2，3，4，5），

17=（4|b，8b，b，8），（b=2，3，4，5，6，7，8），

18=（4|b，4b，b，8），（b=1，3，4，5，6，7，8），

19=（4|6，16，6，8），

22=（4|3，4，3，8），

24=（4|b，b，b，8），（b=1，2，3，4，5，6，7），

……

10001=（100|b，200b，b，200），（b=2，3，...，200），

1234400=（1111|79b，2222b，79b，2222），（b=2，3，…，28）.

【参考文献】

[1] 赵义超.也谈连分数[J].文教资料，2005（25）：164-165.

[2] 何雅.连分数及其基本性质[J].长江工程职业技术学院学报，2004， 21（1）：50-52.

[3] 李复中.初等数论选讲[M].长春：东北师范大学出版社，1984.