抗差EKF滤波在单频低成本接收机定位算法中的应用*

韦子豪，龚栎澎，李 韧

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063210)

随着全球导航卫星系统(Global Navigation Satellites System, GNSS)的快速发展，低成本接收机因具备体积小、功耗低、易携带等优点而迅速普及，不仅能够为智能手机、车辆、无人机等移动设备提供精确的导航、定位、授时服务，还可应用于大地监测、精密农业等传统领域，具有广阔的市场和发展前景[1]。同时，单频低成本接收机的伪距观测值会带有很大的噪声误差，载波相位平滑伪距虽然可以减小测量噪声对定位结果的影响，但在实际导航中，受卫星信号遮挡或者接收机高动态等影响，观测值会出现粗差等异常情况，如果不对粗差探测处理直接解算，容易导致滤波发散或者影响解算的正确性[2]。目前，针对观测数据质量中存在的问题，有学者采用改进的卡尔曼滤波算法提高定位精度[3-7]。本文在估计浮点解的附有单差模糊度的EKF模型的基础上，添加IGGⅢ抗差模型，建立附有单差模糊度的改进抗差算法，并研究卫星高度角定权和信噪比定权随机模型[8]，利用熵权法，将两者综合添加到上述模型中，建立高度角与信噪比联合定权的改进抗差EKF模型，对GNSS组合定位进行浮点解估计。

1 模型建立

1.1 EKF滤波模型

标准卡尔曼滤波算法一般假定系统方程与观测方程均为线性[9]。针对动态GNSS载波相位差分算法，EKF算法可实现非线性系统的线性近似，进一步提高求解精度。假定非线性系统表示为：

(1)

式中，Xk和Xk-1分别为k时刻和k-1时刻的状态向量；ωk-1和Wk为随机噪声；Φ为状态转移函数；Hk为状态向量与观测向量之间的传递函数；Γk-1为滤波状态方程动态噪声驱动矩阵，可预先设定[10]。离散化的扩展卡尔曼滤波一步预测为：

(2)

滤波估值及其对应的协方差阵为：

(3)

Pk=(I-Kk·Hk)·Pk/k-1

(4)

其中，预测协方差矩阵为：

Pk/k-1=Φ·Pk-1·ΦT+Qk-1

(5)

EKF增益矩阵为：

Kk=Pk/k-1·HT·(HPk/k-1HT+Rk)

(6)

GNSS载波相位差分定位实现高精度定位的重要先决条件是模糊度浮点解的正确估计，而模糊度浮点解的精度主要在于观测量的精度，在削弱了系统误差和偶然误差后，EKF估计模糊度浮点解的精度较高，高成功率将模糊度的浮点解固定成为固定解，进一步提高动态定位精度。

1.2 基于高度角信噪比联合定权的改进抗差EKF模型

附有单差模糊度估计浮点解的EKF模型，在进行浮点解估计过程中，容易受到各种观测值残差的影响而导致滤波的发散或者收敛时间过长，如何去除或者削弱观测值中的粗差影响是保证EKF平稳滤波的关键。抗差卡尔曼滤波关键是在滤波过程根据抗差M估计等价权原理来调整观测值随机模型Rk值，从而提高单频接收机抗差效果。

改进抗差EKF滤波递推公式如下：

(7)

Vk=Zk-HkXk,k-1

(8)

Xk=Xk,k-1+KkVk

(9)

(10)

式中，Kk为增益矩阵；Pk,k-1为预测值的协方差阵；Hk为观测方程系数阵；Rk为测量噪声协方差阵；Vk为观测向量残差阵；Zk为观测向量；Xk为滤波估值；Xk,k-1为状态向量及其协方差阵；Pk为滤波更新值的协方差阵[11]。

抗差处理的原理是通过调节测量残差阵Vk来改变噪声协方差阵Rk的数值，达到良好的抗差效果。构造等价EKF增益矩阵，其形式类似IGGⅢ权函数表达式：

(11)

(12)

(13)

利用IGGⅢ抗差模型来改变Rk阵i颗卫星载波量测噪声和伪距量测噪声的数值来实现抗差的效果。

综合卫星高度角与信噪比的熵权法改进的抗差EKF模型为：

(14)

综合卫星高度角与信噪比的熵权法改进的抗差EKF模型在实际计算中，可以有效的削弱伪距或者载波观测值中的粗差，更准确地估计单差模糊度的浮点解，避免滤波出现发散的现象，提高整周模糊度的固定成功率。

2 载波相位差分定位程序设计

本文利用Python3.8语言编写了包括GPS单频定位模型、BDS单频定位模型在内的GNSS载波相位差分定位程序，程序数据处理基本流程如图1所示。

图1 GNSS载波相位差分定位程序数据处理流程图

程序实现了基于EKF的GNSS载波相位差分算法，计算带有粗差观测值的三条基线的外符合精度，验证高度角与信噪比联合定权的改进抗差EKF算法的抗差性能，来探究是否满足现有GNSS载波相位差分定位的精度要求。

3 数据分析

3.1 数据选取

为进一步验证改进的抗差EKF在程序中的抗差效果，本文选取了河北省唐山市曹妃甸生态城控制网GPS1-GPS7和C401-C410基线，以及华北理工大学静态控制网中WS-WN基线，三条不同长度的基线进行GNSS载波相位差分定位程序解算，点位观测如图2～图4所示。

图3 C401点位

图4 WN01点位

三条基线基本信息如表1所示，截取观测时间相同的历元数，采样间隔为1 s，高度角为5°。

表1 基线信息

3.2 实验分析

为了验证改进的抗差EKF算法在程序中的抗差效果，利用这三条不同长度基线的正确固定率的点位坐标，人为添加5个历元的不同卫星上的观测值粗差，选择GPS单频、BDS单频定位模型进行解算，并分析其抗差效果，人为添加观测值粗差的具体信息如表2所示。

表2 人为添加三个点位两种模型的观测值粗差

由图5～图7可知，通过GPS单频定位模型，解算GPS1点位观测数据中人为添加观测值粗差的5个历元的坐标分量残差，由于观测值粗差影响，标准EKF的GPS单频定位模型在dN、dE和dU方向的最大偏差分别约为1.8 m、0.9 m和1.6 m，而改进抗差EKF的GPS单频定位在dN、dE和dU方向的偏差约为0，可以将标准EKF模型解算的有偏定位坐标进行抗差处理，具有明显的改善效果。

图5 GPS单频定位dN对比

图6 GPS单频定位dE对比

图7 GPS单频定位dU对比

由图8～图10可知，改进抗差EKF的BDS单频定位模型与GPS单频定位模型折线波形相同，将粗差对坐标的影响明显改善，与参考坐标偏差近似为0，而解算带有粗差的数据时，标准EKF的BDS定位模型与参考坐标的三维坐标相比，dN、dE和dU方向最大偏差约为0.8 m、1.1 m和1.2 m，严重偏离参考坐标值，成为浮点解坐标，定位精度受到较大影响。

图8 BDS单频定位dN对比

图9 BDS单频定位dE对比

图10 BDS单频定位dU对比

由图11～图13可知，标准EKF的GPS单频定位模型在C401点位dN、dE和dU方向最大偏差约为1.3 m、0.8 m和1.7 m，加入改进抗差EKF算法后，dN、dE和dU方向折线近似为偏差趋于0的平稳直线，表明改进抗差EKF算法具有很强的抗差能力。

图11 GPS单频定位dN对比

图12 GPS单频定位dE对比

图13 GPS单频定位dU对比

由图14～图16可知，标准EKF的BDS单频定位模型，在dN、dE和dU方向最大偏差约为1.2 m、0.9 m和1.5 m，三维坐标的偏差呈现无规律性，观测值粗差影响较大，改进抗差EKF模型有效改善了这一现象，展现了对粗差的抵抗能力，极大地提高了定位精度。

图14 BDS单频定位dN对比

图15 BDS单频定位dE对比

图16 BDS单频定位dU对比

由图17～图19可知，标准EKF的GPS单频定位模型解算WS点位坐标时，三个方向的最大偏差约为0.8 m、0.8 m和1.6 m，严重偏离参考坐标，利用改进抗差的EKF的GPS单频定位模型解算时，三个方向最小偏差约为0 m，有效改善粗差对坐标的影响，但是其效果并不稳定，dN、dE有约0.4 m的偏差，dU方向有近0.2 m的偏差。

图17 GPS单频定位dN对比

图18 GPS单频定位dE对比

图19 GPS单频定位dU对比

由图20～图22可知，BDS单频定位模型抗差效果更加显著，改进抗差EKF的BDS单频定位模型定位结果稳定，表现出较强的抗差效果，可以很好的消除观测值中的粗差带来的坐标偏离的影响。

图20 BDS单频定位dN对比

图21 BDS单频定位dE对比

图22 BDS单频定位dU对比

为了更直观的分析粗差对三个点位定位精度的影响，以及改进抗差EKF算法的提升，计算带有粗差的GPS单频、BDS单频定位坐标的外符合精度，如表3所示。

表3 含粗差三个点位三种定位模型的坐标外符合精度

由表3可知，标准EKF的GPS单频定位模型三点位综合外符合精度分别为163.65 mm、160.01 mm和113.86 mm，相比BDS单频定位模型要高，主要原因在于GPS系统的观测卫星数量较少，粗差对其定位精度影响较大，加入改进抗差EKF算法后，GPS单频定位模型的定位精度明显提升，三个点位的改善率分别为80.46%、88.29%和73.31%，提高了定位精度，具有良好的抗差性。

BDS单频定位模型与GPS单频定位模型相比，外符合精度有所减小，但同样受到观测值粗差影响，标准EKF的BDS单频定位模型三点位综合外符合精度分别为115.28 mm、133.42 mm和78.80 mm，小于GPS单频定位模型的外符合精度，因BDS系统观测卫星数量高于GPS系统，卫星空间结构也更合理，故定位精度受到粗差影响比GPS系统要小，但坐标定位精度超限，经改进抗差EKF模型解算后，三点位的综合外符合精度分别为40.45 mm、15.72 mm和10.48 mm，改善率分别为64.91%、88.22%和86.70%，证明了改进抗差EKF良好的抗差性与可靠性。

4 结 论

利用标准EKF算法模型和改进抗差EKF算法模型，通过程序解算不同点位的三维坐标残差，分析两种模型坐标外符合精度及改善率可以得出，单系统单频的改进抗差EKF算法的定位模型抗差效果明显，坐标三维方向的改善率均超过了64.91%，有效抑制粗差对观测值的影响，展现了良好的抗差性，提高了定位精度，可以为单频低成本GNSS接收机提供一种切实有效的抗差方法。