抛物型拟线性积分微分方程基于扩展混合有限元的两层网格离散方法

曾国艳， 陈罗平， 付雪梅

（西南交通大学 数学学院，四川 成都611756）

考虑下列拟线性抛物型积分微分方程问题：

Ω是二维多边形凸区域，A（t）和B（t，s）均是2×2的矩阵，A（t）、B（t，s）是对称正定的.

积分微分方程可以从许多物理过程中产生，例如记忆性材料的热传导、多孔结构黏弹性体压缩、气体扩散现象等都归结为方程（1）～（3）的情形.混合有限元方法是求解偏微分方程中一种重要的离散方法［1-2］.混合有限元方法的优点是通过引入中间变量，特别是通常与原变量的某些导数有关的中间变量（一般它们具有实际的物理意义），可以将高阶微分方程降阶，从而也能够降低有限元空间的光滑性要求.Raviart和Thomas［3］在1979年针对2阶问题，提出了Raviart-Thomas混合有限元的构造方法.20世纪80年代，Falk等［4］提出了一种改进的方法，扩展了混合有限元的适应性.

两层网格算法最早是由Xu［5］提出来的针对一类非对称的或非线性的椭圆型偏微分方程的一种高效数值求解算法，其基本思想是对连续问题建立2套粗细网格.在粗网格剖分下，求解原始的非对称或非线性问题；然后以牛顿迭代为基础，在细网格上，求解一个对称或线性的偏微分方程.首先，该算法把非线性椭圆边值问题在VH和Vh两个空间上进行有限元离散化，在粗空间VH中，利用标准的有限元离散来获得粗空间逼近；然后，以牛顿迭代为基础，在细空间Vh上解线性方程组.因为粗空间的维数远远小于细空间的维数，所以在粗空间上的工作量相对很小.虽然细空间的维数较大，但是该算法已将问题模型简化成了对称或者线性问题，也降低了细空间的求解时间.收敛性分析表明，当粗细网格步长满足特定条件时，两层网格离散方法具有高效性.1996年，Xu［6］对半线性椭圆问题做进一步的粗网格校正，在粗网格上再解一次线性方程组，而且获得了更高效的收敛结果.随后，两重网格算法及其思想被广泛地运用于其他非线性问题.

在D-波超导体的Ginzburg-Landau模型中，Huang等［7］建立了基于两网格思想的多层线性化方法，并进行了收敛性分析.Dawson等［8］研究了基于最低阶RT元的混合有限元的两重网格有限差分格式，并进行收敛性分析.Bi等［9］研究了线性和非线性椭圆问题的两网格有限体积元法，并用两网格间断伽辽金方法研究了拟线性椭圆问题［10］.Chen等［11］将两重网格算法思想运用到基于扩张混合有限元非线性反应扩散方程中.本文将两网格方法的基本思想运用到基于扩张混合有限元方法的积分微分方程问题.在文献［12］的基础上，将两网格法做进一步改进：在粗网格空间中，将隐格式的非线性项用上一时间步的f

代替，变成显格式欧拉方程，从而在粗网格上求解一个线性问题.然后利用粗网格解作为泰勒展开式的展开函数，将细网格的非线性项f（pnh）作Taylor展开，从而求解一个线性问题.

1 混合有限元方法

首先引入下列表示标准的Sobolev空间的符号：

2 混合有限元先验误差估计

为了进行理论分析，引入3种投影算子：L2（Ω）投影算子、Fortin投影算子、椭圆投影算子.

3 两层网格算法及其误差估计

设VH×WH和Vh×Wh分别是基于网格尺寸为H和h（h＜H＜1）的拟一致三角形网格剖分上的有限元空间.其中VH×WH⊂Vh×Wh两网格混合有限元算法一般是首先在粗网格上用牛顿迭代求解非线性系统，然后在细网格上求解线性系统.

下面在文献［12］两网格算法的基础上，研究了将非线性方程的求解修改为利用显示欧拉格式，从而求解一个线性问题.具体的算法如下.

第一步：在粗网格TH下，求线性系统的解.

相对于文献［12］的算法，该算法避免了在粗网格上求解一个非线性问题.当时间步长Δt非常小时，文献［12］需要在每个时间步上求解一个粗网格上的非线性方程与一个细网格上的线性方程组，修改后的算法在每个时间层的粗网格和细网格上，都是求线性方程组的解.

下面将讨论具有显示欧拉格式的两网格算法的误差.结合定理2.1的结果，类似于文献［12］中的两网格算法的证明过程，可以得到定理3.1.

4 数值算例

下面从数值算例的角度验证两重网格算法的理论结果.考虑拟线性抛物型积分微分方程：

表2 本文和文献［12］的两网格算法以及扩展混合有限元算法关于p的数值结果Tab.2 Numerical results of two-grid method and expanded mixed finite element method for p in this paper and literature［12］

表3 本文和文献［12］的两网格算法以及扩展混合有限元算法关于~p的数值结果Tab.3 Numerical results of two-grid method and expanded mixed finite element method for~p in this paper and literature［12］

从表1～3可以看出3种算法的离散解具有相同的收敛性精度.表4比较了本文和文献［12］中的两网格算法以及扩展混合有限元算法在每个时间层的CPU计算时间.数据表明，随着网格剖分越来越细，本文的算法比文献［12］中的两层网格算法在每个时间层上所用的时间少，本文的算法比扩展混合有限元方法在每个时间层上所用的时间有所节省.可以预测，当时间层越来越多，网格越来越密时，本文中研究的算法比扩展混合有限元方法在时间上的节省也越来越多.

表1 本文和文献［12］的两网格算法以及扩展混合有限元算法关于y的数值结果Tab.1 Numerical results of two-grid method and expanded mixed finite element method for y in this paper and literature［12］

表4 本文和文献［12］的两网格算法以及扩展混合有限元算法的CPU时间比较Tab.4 CPU time of two-grid method and expanded mixed finite element method in this paper and literature［12］

图1是本文在两重网格算法下的数值解在t＝0.001处的收敛阶，图2是文献［12］中两重网格下的数值解在t＝0.001处的收敛阶.在二维情况下，图1和图2的节点个数N约为数值结果与本文给出的理论结果是一致的.图3～5展示了在两重网格（H，h）＝（1／8，1／64），t＝0.5，Δt＝0.01的精确解以及数值解.可以看出，数值解和精确解几乎是完全相同的.

图1 本文在两重网格算法下的数值解在t＝0.001处的收敛阶Fig.1 Convergence order for two-grid numerical solutions at t＝0.001 in this paper

图2 文献［12］中两重网格算法下的数值解在t＝0.001处的收敛阶Fig.2 Convergence order for two-grid numerical solutions at t＝0.001 in literature［12］

图3 变量y在两重网格下的数值解（左图）及精确解（右图）Fig.3 Two-grid solution y（left）and its exact solution（right）

图4 变量p在两重网格下的数值解（左图）及精确解（右图）Fig.4 Two-grid solution p（left）and its exact solution（right）

图5 变量在两重网格下的数值解（左图）及精确解（右图）Fig.5 Two-grid solution（left）and its exact solution（right）

5 结论

本文研究了拟线性抛物型积分微分方程的基于扩展混合有限元的两重网格离散方法.为处理方程的拟线性性质，采用了两层网格离散方法.相对于经典的两层网格算法，本文基于扩展混合有限元方法的两层网格算法包含两步.在粗网格上，求解基于显式欧拉格式的线性问题；然后以牛顿迭代为基础，在细网格上，通过将非线性项基于粗网格解进行Taylor展开，从而求解一个线性化的方程组.理论和数值结果显示：当粗细网格步长满足h＝H2时，该离散方法具有最优的收敛阶，并和经典的两层网格离散方法的数值解有相同的精度.