带Hartree型非线性项双调和薛定谔方程解的整体适定性

王雪雯， 郭 青

（中央民族大学 理学院，北京100081）

考虑以下带Hartree型非线性项的聚焦型质量超临界能量次临界的双调和Schrödinger方程

双调和NLS方程也称四阶NLS方程，是文献［1-2］为了研究小双调和色散项对强激光束在Kerr非线性体介质中传播的影响而引进的.Fibich等［3］从数学的角度研究了这类方程，给出了次临界状态下的一些性质.Zhu等［4］给出了聚焦型四阶质量临界NLS方程基态解的变分结构，Guo［5］由Pausader［6］的思想研究了聚焦型四阶质量超临界能量次临界NLS方程基态解的变分结构以及方程解的整体适定性.对于带Hartree型非线性项聚焦的Schrödinger方程而言，Gao等［7］研究了聚焦型质量超临界Hartree方程基态解的变分结构，Zhu［8］研究了非线性分数阶Schrödinger方程基态解的变分结构，Guo等［9］运用此理论证明了分数阶Schrödinger方程解的整体适定性.

本文根据Zhu［8］的思想，通过寻找卷积型Gagliardo-Nirenberg不等式

基态解的变分结构，并应用Gagliardo-Nirenberg不等式得到Schrödinger方程整体解的存在性.

1 预备知识

研究问题所用的主要工具是根据Zhu［8］建立的H2中有界序列的profile分解.

2 整体解的存在性

给出卷积型Gagliardo-Nirenberg不等式最佳常数CGN以及整体解存在性的证明.

那么，可以用类似证明（16）式成立的方法证明（19）式成立.然后将（16）～（19）式代入（15）式的左边，就得到了（15）式.最后再结合（9）（13）和（15）式可知：当J→∞和n→∞时，有

然后，给出I在椭圆问题（3）中关于Q（x）的表达式.实际上，上述讨论过程已经证明了（26）式非平凡解的存在性，又因为I是实数，所以椭圆问题（3）同样存在非平凡解［13-15］.

对于椭圆问题（3）的任意解Q（x），能够得到Pohozaev等式

下面，对上述等式给出证明，将椭圆问题（3）两端同时乘以Q，然后在Rd上积分，最后再由分部积分可得（27）式成立.而对于（28）式，将椭圆问题（3）两端同时乘以x·∇Q，然后积分，得

因此，通过（29）～（31）式可以得出（28）式.下面将给出（29）～（31）式的具体推导过程：其中对于（29）式而言，有