质量临界情形下一类具平方反比势的非齐次非线性Schrödinger方程

李玉林， 黄 娟

（1.西南科技大学城市学院 通识教育学院，四川 绵阳621000； 2.可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室，四川 成都610066；3.四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

研究具有平方反比势的质量临界非齐次非线性Schrödinger方程的Cauchy问题

下保持L2不变性，即‖uλ（t）‖L2＝‖u（t）‖L2.具有这种特殊结构的方程（1）吸引了很多人研究［1-6］，尤其是对Cauchy问题（1）驻波的稳定性研究［2-4］.

当a＝b＝0时，该方程（1）就是经典的非线性Schrödinger方程，Weinstein［2］通过研究变分问题，获得了方程的最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式.Cazenave［3］构造出Cauchy问题（1）的一个显示爆破解，在此基础上，Genoud［4］利用类似的方法，得到在a＝0时Cauchy问题（1）的一个显示爆破解，并且证得Cauchy问题（1）驻波的强不稳定性.随后，Combet等［5］获得Cauchy问题（1）的最小质量爆破解.而当b＝0时，Csobo等［6］也取得与a＝0时相似的结果.

综上，当a≠0且b≠0时，文献［7］得到了具有平方反比势的三次非齐次非线性Schrödinger方程驻波解的强不稳定性；然而，对于这类质量临界的方程（1）驻波解的强不稳定性，现有文献还没有研究，也没有找到对应的最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式.在这种情况下，Viral等式刚好等于能量的整数倍，这使得传统证明爆破方法［8］失效.基于以上原因，本文将研究Cauchy问题（1）的驻波的强不稳定性.

1 预备知识

2 解的整体存在性

本文利用最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式得到Cauchy问题（1）的解u（t，x）是整体存在的，并且得到u（t，x）在空间˙H1a（RN）中是有界的.

3 驻波的强不稳定性

利用伪共形变换构造Cauchy问题（1）的一个具有临界质量的爆破解，并且得到其驻波是强不稳定的.

因此

注3.2由非线性Schrödinger方程对时间具有不变性知，对c＞0，若u（s，y）∈C（［－S，0］，H1（RN））是Cauchy问题（1）的解，也可以构造uc（t，x）∈C（［－T，0］，H1（RN））是Cauchy问题（1）的解.

当c→0，（15）和（16）式都趋近于零.因此，对任何δ＞0，存在cδ＜0，使得当cδ＜c＜0时，