大规模MIMO-TRDMA 系统中的改进SOR 信号检测算法

王明月，李方伟，景小荣，张海波，熊军洲

（1.重庆邮电大学通信与信息工程学院，重庆 400065；2.移动通信教育部工程研究中心，重庆 400065）

1 引言

大规模多输入多输出时间反演多址（MIMOTRDMA,multiple-input multiple-output time-reversal division multiple access）系统是大规模MIMO 系统与TRDMA 接入技术的结合。大规模MIMO 系统通过在基站端配置大量天线（多达数百根）同时为少量用户设备服务，能够有效地提升频谱效率和能量效率[1-3]。而与TRDMA 技术相结合，可有效提升大规模MIMO 系统抗多径干扰的能力[4-5]。大规模MIMO-TRDMA 系统因其具有高传输率和高可靠性等显著优势，有望发展为未来无线通信系统的主要研究方向之一。

在实际工程中部署大规模MIMO-TRDMA 系统还存在一些具有挑战性的问题，其中之一是如何设计具有高性能和低复杂度的上行信号检测算法。最大似然（ML,maximum likelihood）检测算法具有最佳的检测性能，但其计算复杂度随着发送天线数目的增加呈指数增长，因而难以应用于实际[6]。由于大规模MIMO-TRDMA 系统中基站天线数目远大于用户设备数目，此时各用户间信道满足近似正交的关系，因此，采用传统的线性检测算法，如迫零算法和最小均方误差（MMSE,minimum meansquare error）算法，也能确保检测性能近似最佳[7-8]。然而，线性检测算法需要计算高维矩阵的逆，尽管采用传统的Cholesky 分解和LDL 分解等方法可避免高维矩阵求逆，但仍无法确保信号检测的实时性[9-10]。

为了解决这一问题，国内外学者相继提出了诸多MMSE 算法的近似求解算法，主要包括三大类：第一类是级数展开类，文献[11]提出一种低复杂度信号检测算法，通过Neumann 近似级数展开方法将矩阵求逆计算等价为多次矢量相乘计算；文献[12]基于大规模非正交多址接入系统提出了一种Neumann 级数逼近信号检测算法，该算法能以较低的计算复杂度获得较好的系统性能。第二类是更新近似求解类，文献[13]基于Gauss-Seidel 方法提出了一种能够获得近似最佳性能的检测算法，优化了算法的初始解以加快算法的收敛速度；文献[14]提出了一种基于连续超松弛（ SOR,successiveover-relaxation）的高效算法，同时，该文献还对所提算法进行了硬件验证。第三类是基于矩阵梯度搜索类，文献[15]提出了一种在共轭梯度算法中直接计算信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）的新方法，以实现共轭梯度软输出检测；文献[16]提出了一种联合最陡下降（SD,steepest descent）和Jacobi 更新算法的改进算法，采用SD 算法为后续Jacobi 更新确定高效的搜索方向，进而提升系统的检测性能。

上述算法中，传统SOR 算法具有性能近似最佳、收敛速度较快和计算复杂度较低等优势，但存在初始收敛性能较差的缺点；而SD 算法具有在初始更新时就可获得较好收敛方向的优势，但存在极值点附近收敛速度较慢的缺点。因此，本文结合SOR 算法和 SD 算法的优势，基于大规模MIMO-TRDMA 系统提出一种改进SOR 信号检测算法。将SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解设为改进SOR 算法的第一次更新解，提高后续SOR更新的搜索效率，获得更快的收敛速度和更好的检测性能。仿真结果表明，即使更新次数较少，所提改进SOR 算法仍具有与传统MMSE 算法相当的近似最佳性能。

2 系统模型及MMSE 检测算法

2.1 大规模MIMO-TRDMA 系统模型

大规模MIMO-TRDMA 系统的系统模型如图1所示，其中，基站端配备Nr根接收天线，同时为M个单天线用户设备服务，通常情况下满足Nr≫M。大规模MIMO-TRDMA 通信过程分为3 步，具体如下。

图1 大规模MIMO-TRDMA 系统模型

2.1.1信道探测阶段

信道探测阶段是用户发送信号前的准备阶段，各个用户接收基站端发送的探测信号并分别提取各自的信道冲激响应。基站端第j∈{1,2,…,Nr}根接收天线和第m∈{1,2,…,M}个用户的信道冲激响应为

2.1.2时间反演阶段

在时间反演阶段中，位于用户附近的各时间反演镜在时域或频域上分别对各信道冲激响应进行采样和傅里叶变换/逆变换，将时间反演滤波矩阵写为，每个元素可表示为

2.1.3时间反演后的通信阶段

在正式通信过程中，将发送信号矢量经过时间反演镜处理后的信道冲激响应变换为可表示为

其中，(•) ∗(•)表示求卷积操作，p∈{0,1,…,2L-2}。当p=L-1时，式(3)对应最大功率中心峰值。

根据式(3)，将大规模MIMO-TRDMA 信道模型写为矩阵形式

为了维持信道稳定性，假定信道探测阶段和时间反演阶段的信道状态信息具有时不变特性。即对于一个时间反演操作过程，至少一个信道探测阶段和时间反演阶段的信道冲激响应保持静止。

将基站端接收的信号表示为

其中，Y=[Y1,Y2,…,YNr]为Nr× 1维接收信号向量；H为多径瑞利衰落信道，每个元素服从均值为零且方差为的循环对称复高斯（CSCG,circular symmetric complex Gaussian）分布，0 ≤l≤L，TS表示采样周期，σT表示信道均方根时延扩展；x=[x1,x2,…,xM]T为M× 1维的发送信号矢量；n表示均值为零且方差为σ2的加性白高斯噪声（AWGN,additive white Gaussian noise），满足维度为Nr× 1。在每个信号检测时刻，假定基站端已获得当前信道的理想状态信息。

为了方便分析，将式(5)中每根接收天线上的信号展开为

由式(6)可知，大规模MIMO-TRDMA 系统中的主要期望信号对应最大功率中心峰值因而具有良好的聚焦特性。因此，相比传统大规模MIMO 系统，大规模MIMO-TRDMA 系统能够利用多径产生聚焦效应，从而降低用户间干扰，具有更好的系统性能。

大规模MIMO-TRDMA 系统和大规模MIMO系统的误比特率（BER,bit error rate）性能对比如图2 所示，接收端采用传统MMSE 信号检测算法。从图2 可知，相比传统大规模MIMO 系统，大规模MIMO-TRDMA 系统具有更好的系统性能，具体表现为：当L=8且BER 为一个确定值时，大规模MIMO-TRDMA 系统比大规模MIMO 系统的SNR低至少1 dB；当L=10且BER 为一个确定值时，大规模MIMO-TRDMA 系统比大规模MIMO 系统的SNR 低约2 dB。这是因为大规模MIMO-TRDMA系统能够利用多径产生聚焦效应使主要期望信号对应最大功率中心峰值，能够有效降低用户间干扰。

图2 大规模MIMO-TRDMA 和大规模MIMO 系统性能对比

2.2 MMSE 检测算法

信号检测的主要任务是基站端根据接收的信号矢量Y对发送信号进行译码，得到估计的发送信号矢量。传统MMSE 信号检测中，估计的发送信号矢量为

其中，V=HHH为Gram 矩阵。直接对MMSE 检测算法的加权矩阵U求逆时，计算复杂度为较高的O(M3)[8]。

基于式(8)，大规模MIMO-TRDMA 系统中MMSE 检测算法估计的发送信号矢量变为

在大规模MIMO-TRDMA 系统中，信道为复杂的卷积矢量，采用传统MMSE 检测算法将更加复杂；同时，随着基站端接收天线和用户数量的增加，直接对矩阵求逆的计算复杂度为较高的O(M3)。因此，传统 MMSE 检测算法难以满足大规模MIMO-TRDMA 系统中信号检测的实时性要求。

3 改进SOR 信号检测算法

本节首先证明了大规模MIMO-TRDMA 系统的MMSE 加权矩阵具有对称正定的特性，这是SOR算法的基础；然后给出了所提出改进SOR 算法的基本原理；最后证明了所提算法的收敛性，以确保其实际可行性。

3.1 对称正定证明

将式(5)中的复数系统模型转换为对应的实值模型

在式(11)的实数系统模型中，信道矩阵的转置和信道矩阵的共轭转置结果相同。因此，可得

3.2 算法原理

3.2.1传统SOR 算法原理

SOR 算法可用于求解N维线性方程组As=b，其中，矩阵A的维度是N×N，该矩阵是对称的正定矩阵；s为N× 1维的解矢量；b为N× 1维的测量矢量。传统MMSE 算法直接计算A-1b得到s，而SOR 算法通过高效地更新求解线性方程，能够避免复杂的矩阵求逆计算。由于矩阵A是对称的正定矩阵，可将其分解为对角线形分量DA，严格的下三角形分量LA和严格的上三角形分量SOR算法的更新形式为

其中，上标k表示更新次数，α表示松弛参数，可以根据松弛参数确定算法的收敛效率和收敛速度。当α=1时，SOR 算法等价于Gauss-Seidel 算法，可以看出，Gauss-Seidel 算法是SOR 算法的特例。

由于上行大规模 MIMO-TRDMA 系统中的MMSE 加权矩阵具有对称正定的特性，因此，可用SOR 算法以较低的计算复杂度高效求解式(9)。将大规模MIMO-TRDMA 系统的MMSE 加权矩阵分解为

3.2.2改进SOR 算法原理

传统SOR 算法具有性能近似最佳、收敛速度较快和计算复杂度较低等优势，但存在初始收敛性能较差的缺点；而SD 算法具有在初始更新时就可获得较好收敛方向的优势，但存在极值点附近收敛速度较慢的缺点。因此，结合SOR 算法和SD 算法的优势，提出低复杂度和高性能的改进SOR 算法。将SD算法和SOR算法的第一次混合更新解设为改进SOR 算法的第一次更新解，提高后续SOR 更新的搜索效率，获得更快的收敛速度和更好的检测性能。

进一步地，将传统SOR 算法和SD 算法第一次混合更新结果用SD 算法的更新形式表示为

为了减少更新次数，改进SOR 算法的初始值不使用零矢量。而将SD 算法和SOR 算法第一次混合更新解设为改进SOR 算法的第一次更新解，即。进而，利用式(17)继续进行k-1次更新，通过设置更新次数k对发送信号矢量进行估计。

3.3 改进SOR 算法收敛性证明

改进SOR 算法使用更新方式进行信号检测，算法的收敛性决定了算法的精度因而至关重要。因此，有必要分析和证明改进SOR 算法的收敛性。

更新矩阵E的谱半径定义为非负数，其中λn表示E的第n个特征值，式(22)收敛的充分必要条件是谱半径满足

根据特征值的定义，可得

其中，f是任意2M× 1维非零实值矢量，式(24)也可表示为

将式(25)左右两边同时乘以fT，可得

对式(26)左右两边同时进行转置，得到

将式(30)代入式(23)，可得ρ(E) <1，所以改进SOR 算法是收敛的。

4 复杂度分析

本节以所需的实数乘法次数作为指标，研究所提改进SOR 算法的计算复杂度。传统MMSE 算法、改进 SOR 算法和传统 SOR 算法都需要计算=HHY和U=V+σ2IM，在信号检测时，这两部分计算复杂度相同，因此，仅对检测算法的其他部分进行分析。传统SOR 算法的复杂度仅为SOR 更新，而改进SOR 算法的复杂度包括初始赋值和SOR 更新两部分。初始赋值和SOR 更新的复杂度分析具体如下。

1) 初始赋值

2) SOR 更新

综上所述，传统 SOR 算法的复杂度为4kM2+4kM，而所提改进SOR 算法总复杂度为4(k+1)M2+4kM+6M。当更新次数为k=3、k=4和k=5时，所提改进SOR 算法和传统SOR算法的计算复杂度的对比如表1 所示。从表1 可知，与传统SOR 算法相比，所提改进SOR 算法的计算复杂度有所增加，但是，其计算复杂度仍比传统MMSE算法少一个数量级；尽管如此，当改进SOR 算法收敛（k=5）且BER=10-5时，其检测性能比传统SOR 算法的BER 性能提升了至少4 dB，如图3 所示。

图3 算法检测性能随信噪比对比

表1 计算复杂度的对比

5 仿真与分析

为了验证所提改进SOR 算法的检测性能，使用MATLAB 软件进行仿真验证。采用误比特率作为检测性能的评估参数，对传统MMSE 算法、传统SOR 算法和所提改进SOR 算法的检测性能进行蒙特卡洛仿真实验。大规模MIMO-TRDMA 系统中接收天线数设为Nr=128，用户数设为M=32，采用64-正交振幅调制方案。将所提方案应用于IEEE 802.15.4a 的室外非视距场景中，信道增益为CSCG随机变量，其均值为零且方差为，信道带宽B=500 MHz，均方时延扩展σT=100/B，采样周期TS=1/B=2 ns，信道多径数分别设为L=8和L=10。

通过仿真确定最佳松弛参数，参数设置为：更新次数k=3，SNR=4 dB。所提改进SOR 算法的BER性能与松弛参数α之间的关系如图4 所示。最佳松弛参数是对应BER 最小值的松弛参数。由图4(a)可知，当L=8时，传统SOR 算法BER 最小值为3.01 ×10-2，对应最佳松弛参数α=1.1；而改进SOR算法BER 最小值为2.30 ×10-3，对应最佳松弛参数α=1.2。由图4(b)可知，当L=10时，传统SOR 算法BER 最小值为1.52 ×10-2，对应最佳松弛参数α=1.1；而改进SOR 算法BER 最小值为3.96 ×10-4，对应最佳松弛参数α=1.2。因此，在后面的仿真实验中，传统SOR 算法的松弛参数设为α=1.1，改进SOR 算法的松弛参数设为α=1.2。

图4 所提算法性能与松弛参数之间的关系

大规模MIMO-TRDMA 系统中，传统MMSE算法、传统SOR 算法和所提改进SOR 算法的BER性能对比结果如图3 所示。从图3(a)可以看出，当更新次数k=3时，改进SOR 算法与MMSE 算法之间存在较大差距，但性能优于传统SOR 算法；当更新次数k=4时，改进SOR 算法和传统SOR 算法的BER 性能较更新次数k=3时都有所提升，但仍与MMSE 算法存在一定差距，同时，改进SOR 算法的BER 性能同样优于传统SOR 算法；当更新次数k=5时，改进SOR 算法与传统SOR 算法的性能持续提升，此时，改进SOR 算法与MMSE 算法的BER性能相当，同时优于传统SOR 算法的性能。综上，当更新次数k相同时，改进SOR 算法的性能优于传统SOR 算法。这是因为改进SOR 算法将SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解设为第一次更新解，提高后续SOR 更新的搜索效率，具有更快的收敛速度和更好的检测性能。当更新次数k较少时，改进SOR 算法与MMSE 算法之间的性能存在一定差距；当更新次数k较多时，改进SOR 算法可以取与MMSE 算法相当的检测性能。这是由于改进SOR算法通过更新求解线性方程组代替复杂的矩阵求逆计算，需要通过多次更新才能获得近似MMSE算法的BER 性能。同样，从图3(b)可以得出相同结论。

大规模MIMO-TRDMA 系统中，改进SOR 算法和传统SOR 算法的收敛性能对比结果如图5 所示。从图5(a)可以看出，当更新次数k为确定值时，改进SOR 算法和传统SOR 算法的BER 性能都随着SNR 的增加而明显降低；当SNR 确定时，改进SOR算法和传统SOR 算法的BER 性能随着更新次数的增多都趋近收敛。因为改进SOR 算法能够提高后续SOR 更新的搜索效率，具有更快的收敛速度和更好的检测性能。当SNR 为一确定值时，改进SOR算法比传统SOR 算法的收敛速度快，具体来说，改进SOR 算法的收敛次数为k=5，SNR 变化对算法的收敛次数无影响；而传统SOR 算法的收敛次数为k=8，SNR 变化对算法的收敛次数无影响。此外，在SNR 为一个确定值的前提下，当更新次数小于收敛次数时，改进SOR 算法的BER 性能明显优于传统SOR 算法。同样，从图5(b)可以得出相同结论。

图5 算法收敛性能对比

6 结束语

在大规模MIMO-TRDMA 系统中，传统MMSE算法可获得近似最佳的检测性能，但其所需的矩阵求逆计算复杂度过高，无法确保信号检测的实时处理。因此，本文提出一种改进SOR 信号检测算法。该算法通过更新求解线性方程组，避免复杂的矩阵求逆计算；同时，将SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解设为改进SOR 算法的第一次更新解，以获得后续SOR 更新的高效搜索方向。仿真结果表明，所提算法能以较少的更新次数获得与传统MMSE 算法相当的近似最佳性能，且计算复杂度为较低的O(M2)。因此，所提改进SOR 算法能够在检测性能和计算复杂度之间取得良好的折衷。