解答函数值域问题的办法

姚长城

函数值域问题在高中数学中比较常见，此类问题虽然难度不大，但综合性较强，常常涉及函数的图象、解析式、性质、不等式的性质、方程的判别式等.很多同学在解答函数最值问题时常常无法得到正确的答案.对此，笔者归纳了解答函数值域问题的几种办法，以期帮助同学们破解函数值域难题.

一、换元

换元法是指通过设元，以新的变量替换原式中的某个变量或者某个式子，将所求的问题转化为易于求解的函数问题，从而得出原函数的值域.换元法常用于求解含有根式、绝对值、复合函数、分式等的函数值域问题.

解法1是根据函数的結构、特点联想到正切函数的差角公式，然后利用正切函数的差角公式和正切函数的有界性进行求解;解法2是根据函数式联想到三角函数万能公式，借助万能公式和余弦函数的有界性进行求解;对于解法3，我们由函数的解析式联想到定比分点公式，运用定比分点公式求得问题的答案.从多个角度展开联想，得到了多种不同的解法.

总之，求解函数值域问题的方法比较多，同学们在平时的解题中，要注意从从多个角度进行思考和剖析，以便找到更多、更好的解题方法，从而拓宽解题的思路，提升解题的效率.

（作者单位：  江苏省响水中学 ）