如何解答排列组合问题

段留旺

排列组合问题是属于一类综合性较强的问题，常与生活实际相联系.在解答排列组合问题时，同学们不仅要熟练运用排列组合中的基础知识，还要掌握一些解题的基本方法和技巧，这样才能更快地解答问题.本文重点谈一谈解答排列组合问题的三个技巧，以供同学们参考.

一、合理运用分类、分步计数原理

解答排列组合问题常需运用到两个基本原理：分类计数原理和分步计数原理.分类计数原理是指，完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Ⅳ=m+n种不同的方法.分步计数原理是指，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Ⅳ=mxn种不同的方法，有些排列组合题目较为复杂，需同时用到两个计数原理.在解题时应根据实际情况进行分析，一般是先分类再分步处理，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再将每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出完成每个步骤的方法数，按照分步计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类计数原理得出总数.例1.如图所示，用4种不同的颜色涂人图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有____，

解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，由分步计数原理可得共有4x3x2xl-24种涂法;二是用3种颜色，由分步计数原理可得这时A，B，C的涂法有4x 3x2-24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以由分类计数原理可得不同的涂法共有24+ 24x2-72种.

在分类时，需注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.在利用分步乘法计数原理解题时要注意按事件发生的顺序分步进行.

二、优先处理特殊位置或元素

有些题目对元素或者位置有特殊要求，如部分元素相邻或不相邻、有些位置必须空着等.在解题时，我们首先要根据题目的要求，将有特殊要求的位置或者元素优先排列出来，再排没有要求的元素，如将要求相邻的元素捆绑在一起当作一个“大元素”与其他元素一起排列，将不相邻的元素插入没有要求的元素之间的空隙中;将有特殊要求的位置先排上，再排其他没有要求的元素，等等.

例2.某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为（ ）.

A.720

B.504

C.384

D.120

本題中数学课和体育课为特殊元素，第一节课和第四节课为特殊位置，所以我们需优先处理这些特殊位置、特殊元素，于是以数学课的排法进行分类：数学课排在第四节与不排在第四节，然后再考虑其他元素或者位置.

三、先分组后分配

我们会遇到一些分组分配问题，而解答这类问题的基本思路是先分组后分配，在分组时，只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，此时不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A：（n为均分的组数），避免重复计数.在分组后再将各组按照题目要求进行分配.

例3.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）.

A.12种 B.10种 C.9种 D.8种

排列和组合问题常以选择题、填空题的形式出现，虽然一般难度不大，但在解题时，同学们一定要合理运用分类计数原理和分步计数原理、优先处理特殊位置或元素、学会先分组后分配，这样才能陕速、正确地解题.

（作者单位：河南省中牟县职业高中）