从公理化系统角度分析中学几何教材

侯娇

摘要：几何公理化系统可以将几何学的所有知识系统组织起来，具有分析、总结数学知识，推动新理论产生等作用。尽管公理化系统很重要，但是在中学教材并未谈及公理化系统。本文介绍了公理化系统的形成及其概念，剖析了中学几何教材的公理化结构，以此启发几何教学。

关键词：公理化系统、中学几何、希尔伯特

引言

目前对中学数学几何教育的研究多注重于现代信息技术、教学方法的运用，如何在几何教学中培养数学思维与数学核心素养等研究，①—③对于中学几何教材的整体框架研究较少。对中学教师而言，了解几何公理化体系，掌握基本概念、公理和命题的区别与联系，明晰中学几何对公理化系统的处理将有利于把握几何课程的实质。

1、1、简述公理化系统

1.1公理化系统的起源

欧几里得的《几何原本》，标志着实体公理体系的形成。在对《几何原本》不断研究下，产生了以罗氏几何和黎曼几何为代表的非欧几何。希尔伯特天才得总结了前人的研究，发表《几何学基础》一书，标志着形式公理体系的形成。

1.2公理化系统的概念

我国数学方法论的倡导者和带头人徐利治先生认为：所谓公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的的命题（基本公理）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎方法的一种。④这里的公理化方法指的是希尔伯特的形式公理化方法。

基本概念指的是不加定义的概念，它们就必须是真正基本的，而无法使用更原始更简单的概念去界定的概念。欧几里得的实体公理体系中基本概念是对空间对象的描述性定义。为建立更严密的公理化系统，在希尔伯特的形式公理体系中，基本概念是脱离了具体空间，包含对几何科学基本概念之间所存在的关系的描述。希尔伯特的公理体系虽然遵循欧式几何的做法，仍然以点、线、面及其相互关系作为基本概念，但是正像他描述的那样：“有可能在所有几何命题中，用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面。”

公理是对诸基本概念（例如基本元素、基本关系的那个概念）相互关系的规定。公理是不证自明的，由公理可以推出同一体系的全部命题。

1.3公理设置的要求

希尔伯特形式公理化系统的完善性体现在公理需要满足相容性、独立性和完备性。

公理的相容性即从这些公理出发不可能推出任何矛盾的命题 （定理）。公理的独立性即每一个公理不可由其他公理推出。每一条公理都应该独立于其他所有公理存在。公理的完备性即该体系中有足够个数的公理，以之为依据可推导出该体系的全部结论。

2、中学几何教材的公理化结构

中学教材中的几何是以希尔伯特的形式公理系统为基础进行一些变化所建立的欧式几何，它是建立在混合型的公理系统的之上。它延续了希尔伯特公理化体系中的相容性，但在其他严密性方面做出了一些牺牲。

2.1中学几何教材的不完备性

从图1可以看出，中学几何教材的公理分组与希尔伯特公理系统的分组有所不同，缺少了顺序公理、合同公理、连续公理。中学涉及到这些公理的知识均加以直观默认。

中学中默认同一直线上的三点，必有一点位于其他两点中间。这是希尔伯特公理系统中顺序公理的第三条所阐述的内容，虽然是显而易见的事实，但是在完整的公理体系中，必须满足公理的完备性，即公理不能少。

2.2概念没有定义或不精确定义

中学几何教材中不提不予定义的基本概念。希尔伯特公理化系统中的点、线、面是不加定义的基本概念。对于这些不加定义的基本概念，人教版七年级上册课本中通过直观描述或经验性知识来解释的。面由“平静的水面”、“建筑物的屋顶”而得。线由“流星划过的光线”、“面和面相交”而得。点由“天上的星星”、“世界地图上的城市”、“线与线相交”而得。

中学几何教材中的一些几何概念没有定义或没有精准定义。中学中一些概念的严格定义非常复杂或者在中学知识中无法定义，因此不进行过多定义，而是借助学生的经验和图形来理解。比如“重合”、“一方”、“长度”、“旋转”等如需进行定义则需要用到合同公理、顺序公理等中学没有讲授的公理，但是他们的几何直观性很強，通过图形与经验学生就可以理解。再比如“面积”，在北师大、人教版、苏教版三个中均未给出明确定义，而是通过比较表面大小来使学生产生认知，并未进行精准定义。

2.3中学几何教材的不独立性

观察图1可得，中学几何教材的公理分组比希尔伯特的公理分组多了线段公理、全等公理、求积公理。在希尔伯特的公理系统中，它们应该是由公理推出的命题，但是由于它们证明复杂而事实显而易见，便在中学中作为公理给出。同时中学几何教材中出现将希尔伯特的多个公理结合为一个公理给出。

2.4中学几何教材中公理的顺序

希尔伯特的公理是按照逻辑顺序排列的，而中学几何教材中的公理系统是按照图形复杂程度编排。比如先给出平行公理再讲授三角形，可以较早解决直线的相互位置关系和三角形的外角定理。

从公理化角度看中学几何教材有很多不严密的地方，但从学生接受的角度看，这种教材编排有很多优越性。教师需在逻辑的严密性和学生的接受程度上找到平衡。

参考文献：

[1][1]谢秀兵.关于模型思想在中学数学几何中的运用及反思[J].数理化解题研究，2021（04）：9-10.

[2][2]刘建雄.初中数学几何教学的有效方法探析[J].考试周刊，2021（10）：71-72.

[3][3]王凯，金樟荣，王峥嵘，杨浩然，熊康.为数学的思维养成而教——以2020年浙江高考立体几何解答题为例[J].中学教研（数学），2021（01）：48-50.

[4]徐利治著.数学方法论十二讲[M].大连：大连理工大学出版社，2007：57-65.