压电效应下一维六方准晶中正六边形孔边裂纹传播问题

高慧芳

(朔州师范高等专科学校 数计系，山西 朔州 036000)

0 引言

随着科学技术的发展和新材料的出现，准晶是一种目前研究较为广泛的新材料，准晶体在一定条件下，会使得微观缺陷发展成为宏观缺陷，从而发生断裂破坏，甚至诱发事故，准晶体在断裂损伤中，其破坏与准晶体的裂纹发展和传播都有很大关系。国内外学者对其进行了大量的研究，不管是理论研究还是实验室试验均取得了丰硕成果[1-4]。文献[5]利用复变函数方法，研究了一维六方压电准晶中多角形缺陷唇形快速传播裂纹问题，给出了动态应力强度因子的解析解。文献[6]利用保角映射技术,在电不渗透型的边界条件下借助复变函数方法,解决了一维六方压电准晶中正六边形孔边裂纹的反平面问题，并得到了场强度因子的解析式。下面不仅考虑声子场、相位子场及电场之间的耦合作用，还考虑正六边形孔边裂纹沿准周期方向匀速传播的动力学问题，得到了电不渗透情形下动态应力强度因子和电位移强度因子的解析解。

1 基本理论

在具有压电效应的一维六方准晶材料中，建立空间直角坐标系xi(i=1,2,3)，设坐标轴x3方向为准周期方向，记Dj，Ei，φ分别表示电位移、电场和电势，Eij,σij,ui分别表示声子场的应变、应力和位移分量，ωj,Hij,w3(i,j=1,2,3)分别表示相位子场的应变、应力和位移分量，Cij表示声子场的弹性常数，Ki表示相位子场的弹性常数，Ri表示声-相位子场耦合的弹性常数，eij，dij表示压电常数，λ11，λ33表示介电常数，ρ表示具有压电效应的一维六方准晶材料的密度。则具有压电效应的一维六方准晶弹性问题的本构方程如下：

(1)

几何方程

ω3j=∂jw3,(i,j=1,2,3)

Ej=-∂jφ

(2)

运动平衡方程为

∂1D1+∂2D2+∂3D3=0

(3)

当缺陷沿准晶的准周期方向穿透时，材料的几何性质不随周期方向改变，即公式(1)中所有变量对x3的偏导数为0。

该问题可分解为两个独立的问题，文中只分析其中准周期弹性场的反平面问题。

整理(1)-(3)式得

e15▽2u3+d15▽2w3-λ11▽2φ=0

(4)

进一步化简得

(5)

引入新的位移势函数[7]M1(x1,x2,t),M2(x1,x2,t)和M3(x1,x2,t)，且设

{u3=ηM1-BM2

w3=BM1+ηM2

(6)

通过(4)的第三式和(5)式进一步转化为

▽2M3=0

(7)

把(6)代入(1)得由位移势函数Mi(i=1,2,3)表示的应力和电位移分量为

2 电不渗透的正六边形孔边快速传播裂纹

如图1所示，假设一无限大的一维六方准晶体内部含有沿准周期方向穿透的正六边形孔边裂纹，正六边形孔的边长为a，左右裂纹长度分别为L1和L2，以速度v匀速沿x1方向运动，在无穷远处受到沿准周期方向的剪应力p和电载荷T的作用。

图1 具有压电效应的一维六方准晶中含正六边形孔边裂纹

作变换x=x1-vt,y=x2,建立运动坐标系x-y,将问题转化为稳定裂纹动力学问题,该问题的电不渗透边界条件为

{z→∞:σ32=H32=D2=0

z∈L:σ32=-p,H2=0,D2=-T

(9)

则方程(7)可化为三个新的方程

(10)

由文献[8]知方程组(10)的解Mi(i=1,2,3)可以表示成三个解析函数f1(z1),f2(z2),f3(z)的实部或虚部，故令

Mi=Re{fi(zi)},(i=1,2)

M3=Re{f3(z)}

(11)

其中z1=x+iy1,z2=x+iy2,z=x+iy,

y1=δ1y,y2=δ2y

根据解析函数的性质可得

(12)

引入保角映射[8]

(13)

其中

(14)

(15)

函数f1,f2,f3及它们的导数变换为

f1(z1)=f1(ω(ξ))=U1(ξ)

f2(z2)=f2(ω(ξ))=U2(ξ)

f3(z)=f3(ω(ξ))=U3(ξ)

(16)

(17)

把边界条件代入式(13)，将单位圆周γ上 的点ξ=σ=eiθ代入，且两边同乘以dσ/2πi(σ-ξ)沿边界γ积分得

(18)

由柯西公式得:

(19)

把式(19)代入(18)中再代入式(17)得

(20)

其中

G=δ1δ2[(Aη+B2)(Dη-B2)

-B2(η-A)(η+D)]

把式(20)代入式(12)可得z平面内该问题的应力场与位移场。

根据文献[7]，可得裂纹尖端处z=a+L2，对应在ξ平面内ξ=1处动态的声子场应力和电位移的强度因子分别为

(21)

其中K表示无量纲场强度因子，且L′为裂纹等效长度,即L′=(L1+L2+2a)/2

θ2=B(Aη+B2)(η-A)

3 结论

通过引入无限大平面内正六边形孔口双裂纹到数学平面的保角映射函数，利用柯西积分公式，在电不渗透的边界条件下,对具有压电效应的一维六方准晶材料中正六边形孔边裂纹的反平面动态问题进行了分析研究，得到了其应力场和位移场及动态的应力强度因子和电位移强度因子的解析解。发现应力强度因子不仅受声子场应力大小的影响，还与电载荷、传播速度、裂纹大小有关，而电位移强度因子与声子场应力大小无关。