基于忆阻器的锂离子电池RC模型混沌特性

徐东辉

（1.南昌师范学院数学与计算机科学系,江西 南昌 330032;2.长沙理工大学汽车与机械工程学院,湖南 长沙 410076）

目前,国内外学者在锂离子电池的荷电状态（SOC）[1]、健康状态（SOH）[2]、使用寿命[3]及均衡[4]等方面开展了许多研究[5]。庞晓琼等[3]对与锂离子电池寿命相关的参数进行主成分分析,并进行特征融合,采用非线性自回归（NARX）神经网络对电池的剩余使用寿命进行预测,取得了较好的效果。M.G.Ouyang等[6]对动力锂离子电池的低温老化机理、电池组的一致性及剩余放电容量在线估测等开展了深入研究,并提出了一系列电池组在线均衡及电池剩余放电容量估测的方法。以上对动力锂离子电池的状态估测都是基于数据驱动方法,精度受数学模型准确度的影响。运用混沌理论对锂离子电池动力学系统进行研究的报道甚少。近年来,有些学者运用混沌理论对其他领域的非线性系统混沌动力学特性及参数预报进行研究,取得了一些成果,如兰朝凤等[7]在水轮机处于偏工况运行状态时,对压力脉动特征进行混沌动力学特性分析,分析混沌特性随压力脉动的变化,用于实时监测水轮机的运行,实现了在水轮机偏工况运行状态下的快速故障诊断。

锂离子电池在使用过程中为复杂的非线性状态,很难运用确定的方程对SOC、剩余寿命等进行在线准确求解[8]。混沌是确定性系统由于非线性变量之间的相互作用而产生的貌似随机性现象,相轨迹图、李雅普诺夫指数图及庞加莱映射图等动力学特性随系统参数变化而改变,较适合用于锂离子电池动力学系统的研究。本文作者针对忆阻器容易产生混沌振荡信号,引入复杂非线性系统中可研究系统的动力学特性等特点,将荷控忆阻器、电感及电阻组成混联电路作为负载,引入锂离子电池一阶RC等效电路模型中,并建立动力学数学模型,分析混沌动力学特性,对模型进行仿真求解。分析该动力学数学模型的一系列特性,研究系统随一阶RC等效电路欧姆内阻变化的混沌特性演变过程,以获取相应的欧姆内阻。

1 荷控忆阻器模型

文献[9]通过对电路中的基本变量电荷q、电感L、电压U、磁通量φ进行推导,并利用电路对称性理论进行分析,从理论上得出φ和q之间存在一种电路上的联系,并称为忆阻器。由文献[9]可得到HP实验室研制的无源忆阻器阻值。

式（1）中:M为忆阻器阻值,与电阻具有同一量纲;D为忆阻器总长度;uv为杂质平均移动速率;RON为导通阻抗;ROFF为关闭阻抗。

忆电阻器是一个基本的无源二端器件,可分为荷控忆阻器和磁控忆阻器两种。为了用相对简单的荷控忆阻器模型建立锂离子电池一阶RC等效混沌电路,实验拟采用三次非线性单调递增曲线描述荷控忆阻器的本构关系。

荷控忆阻器的M（q）可以表示为:

式（2）中:a、c均为常数,且 a<0、c>0。

正弦变化的电流源为:

式（3）中:A为电流源的幅值;f为频率;θ为初始相位;t为时间。

将正弦变化的电流源施加在上述荷控忆阻器两端,忆阻器两端电压U、电流I的表达式为:

当电流源参数 A=1、θ=0、f=0.5 Hz、a=-0.06、c=0.02时,通过Matlab仿真可得到该荷控忆阻器的伏安特性曲线,如图1所示。

从图1可知,荷控忆阻器的伏安特性曲线呈现出斜“8”字形的类紧磁滞回线形状,具有较强的非线性特性。

图1 荷控忆阻器的伏安特性曲线Fig.1 Volt-ampere characteristic curve of a load-controlled memristor

2 基于忆阻器的RC等效电路模型建立

电动汽车以电池作为电源,电动机作为负载进行工作,电池和电动机都是非线性较复杂的系统。为了更好地研究电池系统的动力学特性[10],实验将荷控忆阻器、电感及电阻组成混联电路引入一阶RC模等效电路模型（见图2）中,建立动力学数学模型。分析该模型随一阶RC等效电路参数变化过程中的一系列动力学特性,包括时频特征分布、相轨迹图、李雅普诺夫指数图及庞加莱映射图等。

图2 基于忆阻器的RC等效电路模型Fig.2 RC equivalent circuit model based on memristor

图2中:Uoc为开路电压;R0为欧姆内阻;R1、C1分别为极化电阻和极化电容;L1、L2为大小不同的两个电感线圈;R为电阻;M（q）为荷控忆阻器;U0为欧姆内阻R0两端的电压;U1为极化电容C1两端的电压;U2为电感L2两端的电压;U3为电感L1两端的电压;U4为M（q）两端的电压;U5为电阻R两端的电压;I为流过欧姆内阻R0的电流;I2为流过电阻R的电流;I3为流过M（q）的电流。

在电路中选定电流的参考方向,由基尔霍夫电流定律、基尔霍夫电压定律,可列出描述此电路的方程组:

根据元件的伏安特性,可得到上述电路的微分方程组。

式（7）即为基于忆阻器的车用锂离子电池一阶RC等效电路动力学数学模型。

当式（7）中 α=8.5、β=1、γ=14.29、R=1.14 mΩ、R0=0.100 mΩ、R1=142.48 mΩ、a=-1.34、c=0.4,且初始值设置为[0.1,0,0,0.2]时,通过MATLAB仿真可得到系统相轨图、系统时域波形和庞加莱映射图,分别见图3、图4和图5。

图3 系统的相轨图Fig.3 Phase orbit diagram of the system

图4 系统的时域波形Fig.4 Time-domain waveform of the system

图5 系统的庞加莱映射图Fig.5 Poincaré map of the system

从图3-5可知,基于忆阻器的车用锂离子电池一阶RC等效电路动力学系统生成了双涡卷混沌吸引子。

计算系统的李雅普诺夫指数为:LE1=0.211、LE2=0.004、LE3=-1.227、LE4=-3.816,李雅普诺夫维数 d=2.043。通过李雅普诺夫指数的正负性及分数维数可知,系统在上述参数设置下处于混沌状态。

3 混沌动力学特性分析

3.1 平衡点的稳定性分析

矩阵中的R0可用于描述电池的SOH。

式（9）中的三次多项式方程的系数均为非零实常数。根据劳斯-赫尔维茨稳定条件,该三次多项式方程的根的实部为负的充分必要条件是:

R0为锂离子电池的欧姆内阻,取值通常为[0.100 mΩ,1.000 mΩ],因此,由忆阻器组成一阶RC等效电路系统在平衡点处于不稳定状态。

当q=0.2,R0=0.100mΩ时,在平衡点处JA的特征根为:

式（12）中:λ为平衡点;i为虚部。

由线性稳定性定理可知,系统在平衡点处不稳定,平衡点为不稳定鞍焦点。系统轨迹趋于极限环、混沌轨或无穷发散。

3.2 系统的耗散性和吸引子存在性分析

3.3 电路欧姆内阻对系统影响

改变电路中的欧姆内阻,系统平衡点的稳定性会发生相应变化,系统将处于不同状态。利用李雅普诺夫指数谱、分岔图和相图,对提出的混沌电路进行动力学分析。由式（13）可知,通过R0变化可掌握锂离子电池的SOH变化情况。

式（13）中:REOL为电池寿命结束时的内阻;R0为当前电池的内阻;Rnew为新电池的内阻。

实验考虑当固定 α=8.5、β=1、γ=14.29、R=1.14 mΩ、R0=0.100 mΩ、R1=142.48 mΩ、a=-1.34、c=0.4、q=0.2 时,改变一阶RC等效电路中的R0对系统的动力学影响。

假设某锂离子电池的RNEW=0.125 mΩ、REOL=1 mΩ,则R0为[0.125 mΩ,1.000 mΩ]。设b=1.225+R0,b与R0呈线性递增关系,进一步可得到b的取值为[1.345,2.14]。当参数b增加时,式（7）系统的李雅普诺夫指数谱见图6。

图6 随b变化的李雅普诺夫指数谱Fig.6 Spectra of Lyapunov's exponents as a function of b

从图6可知,李雅普诺夫指数谱和相图基本一致。

当R0为[0.125mΩ,0.250mΩ）,即SOH为100%～85%时,系统的李雅普诺夫指数形式为（+,+,-,-）,处于超混沌运动状态,生成了双涡卷混沌吸引子。

图7为初始值q=0.2及R0=0.170 mΩ、SOH=94.9%时,等效电路模型的相轨图和时序图。

图7 初始值q=0.2及R0=0.170 mΩ,SOH=94.9%下等效电路模型的相轨图和时序图Fig.7 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.170 mΩ and SOH=94.9%

当R0为[0.250 mΩ,0.300 mΩ）,即 SOH为85%～80%时,系统的李雅普诺夫指数形式为（+,0,-,-）,处于混沌运动,生成了单涡卷混沌吸引子。

图8为初始值q=0.2及R0=0.260 mΩ、SOH=84.6%时,等效电路模型的相轨图和时序图。

图8 初始值q=0.2及R0=0.260 mΩ,SOH=84.6%下等效电路模型的相轨图和时序图Fig.8 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.260 mΩ and SOH=84.6%

当R0为[0.300 mΩ,1.000 mΩ],SOH为80%～0时,系统的李雅普诺夫指数形式为（0,-,-,-）,以周期轨道运行。

图9、图10为初始值q=0.2,R0分别为0.320 mΩ和0.700 mΩ,SOH分别为77.7%和34.3%时,等效电路模型的相轨图和时序图。

图9 初始值q=0.2及R0=0.320 mΩ,SOH=77.7%下等效电路模型的相轨图和时序图Fig.9 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.320 mΩ and SOH=77.7%

图10 初始值q=0.2及R0=0.700mΩ,SOH=34.3%下等效电路模型的相轨图和时序图Fig.10 Phase orbit diagram and time sequence diagram of equivalent circuit model with initial values q=0.2 and R0=0.700 mΩ and SOH=34.3%

从图9、10可知,当SOH为100%～85%时,系统生成了双涡卷混沌吸引子;当SOH为85%～80%时,生成了单涡卷混沌吸引子;当SOH为80%～0时,以周期轨道运行。通过系统吸引子的运动轨迹,可以判定锂离子电池系统的SOH。

4 结论

本文作者针对车用锂离子电池的非线性特性,建立一阶RC电路模型,并以荷控忆阻器、电感及电阻组成的混联电路作为负载,建立动力学数学模型;从平衡点的稳定性、系统的耗散性和吸引子存在性、电路参数对系统影响等方面,分析系统的混沌动力学特性。

对该动力学数学模型进行仿真求解,分析了动力学数学模型随一阶RC等效电路各参数变化过程中的一系列动力学特性。

研究结果表明,随着一阶RC等效电路欧姆内阻的增加,系统通常经超混沌和混沌进入倍周期分岔。欧姆内阻越小,则系统的混沌现象越明显;欧姆内阻越大,系统的倍周期分岔现象越明显。对系统的动力学特性进行分析,可以掌握一阶RC等效电路欧姆内阻变化情况,为研究电池寿命的检测提供了一种方法。