ARIMAX模型在A省人口出生率预测中的应用

姚秀侠，杜洁

（1.阜阳师范大学 校医院；2.阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

人口关系到一个国家的命运，它是一个国家发展的基础。近年来，我国人口出生率偏低，为了解决一系列由人口出生率低引发的问题，我国在2018年实行“全面放开二孩”政策。A省是我国的人口大省，根据抽样调查显示，A省人口出生率近年稳步增长，2017年人口出生率达到2000年以来最高值，并且二孩出生数量第一次超过一孩，总和生育率在低水平上有所上升。研究A省的人口出生率，对我国人口控制有重要的现实意义。

很多学者对人口出生率进行了预测研究，王郁玲，汪玺[1]利用ARIMA（autoregressive integrated moving average model）模型对宁波市奉化区的人口出生率变化趋势进行了预测，结果表明预测较为准确。孙鑫鑫[2]等对我国1949年—2017年的人口出生率建立ARIMA(1,2,2)模型，并对未来5年的人口出生率进行了预测。任栋，李萍[3]利用非线性回归模型研究我国人口出生率，得到较好预测结果。H Baghestani，M Malcolm利用1975年—2001年的美国出生率数据，建立ARIMA模型对2002年—2008年美国的人口出生率进行了精确地预测[4]。有学者指出，人均GDP和人口出生率具有负相关关系[5]。基于此，本文建立以人均GDP（PGDP）为输入变量，以人口出生率（BR）为响应变量的ARIMAX模型，对A省人口出生率进行预测。

1 动态回归模型简介

2 A省人口出生率序列的预测

2.1 选取观测值

从A省统计年鉴（2020）中选取1982年—2019年的人均GDP和人口出生率数据，见表1。

表1 1982年和—2019年A省人均GDP和人口出生率数据

2.2 建立动态回归模型

2.2.1 检验{l n PGDP}和{l n BR}，及{∇ ln PGDP}和{∇ ln BR}的平稳性

图1 {l n PGDP}和{l n BR}以及{∇ ln PGDP}和{∇ ln BR}的时序图

表2 {∇ ln PGDP}的ADF检验结果

表3 {∇ ln BR}的ADF检验结果

表4 {∇ ln PGDP}建立ARMA模型的参数估计

表5 残差的白噪声检验结果

2.2.3 建立动态回归模型

考察{∇ ln PGDP}和{∇ ln BR}的互相关系数，绘制互相关系数图，如图2所示，建立ARIMAX模型。

图2 {∇ ln PGDP}和{∇ ln BR}的互相关系数图

表6 ARIMAX模型参数估计结果

表7 残差{at}的白噪声检验结果

表8 {at}与{l n PGDPt-1}的互相关检验结果

表9 {at}与{l n PGDPt-7}的互相关检验结果

2.3 动态回归模型预测

如表10所示，利用拟合的ARIMAX模型对1990年—2019年的A省人口出生率进行事后预测，得到的相对误差的绝对值都小于12.3%，并且30个年度计算的MAPE（mean absolute percentage error）值为3.83%，一般认为MAPE的值小于10%时预测精度较高[13]，因此该模型拟合良好。

表10 A省人口出生率的事后预测结果

利用该模型对A省人口出生率对数序列进行未来5年的预测，得到2020年—2024年A省人口出生率对数分别为2.465 21，2.450 96，2.446 98，2.427 93，2.400 71。进行指数化后，得到2020年—2024年A省人口出生率分别为11.77‰，11.60‰，11.55‰，11.34‰，11.03‰。

3 图形拟合

绘制出{l n BR}和{B R}的拟合图，如图3（a），（b）所示。图3（a）为{l n BR}的拟合图；图3（b）为人口出生率{B R}的拟合曲线，可见拟合效果良好。

图3 {l n BR}和{B R}的拟合

4 结论

人口出生率的变化受很多因素影响，考虑到人均GDP对人口出生率的影响，建立以A省人均GDP为输入序列，人口出生率为响应序列的ARIMAX模型。根据1982年—2019年A省人口出生率序列的数据，得到事后预测的MAPE值为3.83%，可见模型预测精确。并对未来5年的A省人口出生率进行预测，得到预测结果依次为11.77‰，11.60‰，11.55‰，11.34‰，11.03‰。预测结果显示A省未来5年人口出生率将有所下降，继续在较低水平游走，这可为A省提出合理生育政策提供参考。

附件：

SAS软件操作程序