函数单调性的几个妙用

■吴丽芳

有些数学问题,貌似与函数的单调性无关,其本质是与单调性有关的,因此当直接求解受阻时,若能充分挖掘其结构特点,与单调性联系起来,将会得到简捷、直观的解法。

一、利用函数的单调性比较大小

例1已知函数f(x)=则f(x2+2x+4)与f(2)的大小关系是____。

解:易得f(x)=,它的定义域为[1,+∞)。容易证明它在定义域上是减函数(同学们不妨证明一下)。因为x2+2x+4=(x+1)2+3≥3>2>1,所以f(x2+2x+4)

评注:当函数的单调性确定后,比较函数值的大小只需比较自变量的大小,不必计算函数的值。

二、利用函数的单调性求值域

或者,利用基本不等式也可求得值域(解法略)。

评注:利用函数单调性求函数的值域,是求值域问题的首选方法。

三、利用函数的单调性求最值

例3已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且 当x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2,试判断在 [-3,3]上,f(x)是否有最大值或最小值。如果有,求出最大值或最小值,如果没有,请说明理由。

解:先研究函数的奇偶性和单调性,再求最值。

令x1=x2=0,则f(0)=0。令x1=x,x2=-x,则f(-x)=-f(x),即f(x)是R上的奇函数。设x1,x2∈R,且x10,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)

因为f(1)=-2,所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6。又f(x)在 [-3,3] 上是减函数,所以存在最大值和最小值。

故当x=-3 时,f(x)max=f(-3)=6;当x=3时,f(x)min=f(3)=-6。

评注:利用函数的单调性是求最值的常用方法,解题时必须先判断函数的单调性。

四、利用函数的单调性解不等式

评注:利用函数的单调性解不等式,体现了函数单调性的逆向应用。解答这类问题,在转化为不等式时不能忽视函数的定义域。