基于小波分析的时间序列预测

黄裕萌 朱云华 胡 尧 周欣璐

（西南石油大学，四川成都 610500）

近年来，随着深入推进城乡一体化建设，人口逐渐向城市集中，城市人口密度不断增大，交通拥挤问题日益尖锐。目前，大中型城市正规划通过发展城市轨道交通，致力于缓解交通拥挤压力问题。轨道交通与其他传统交通运输工具系统相比，具有运载量大、低污染和准时高效等特点，受到越来越多一线城市的青睐。随着轻轨地铁等轨道交通的深入推行，准确可靠的预测方法对于轨道交通的运营尤为重要，一方面如果地铁客运量的预测过于保守，一些高峰时段特别拥挤，导致地铁乘客交通体验明显下降；另一方面可能是实际客流没有达到人们预测的预期效果，导致交通运营的成本上升和公共交通资源的严重浪费，因此需要对轨道交通客运量进行短期预测[1]。1982年，袁振洲[2]通过分析铁路货运量数据，将ARIMA模型应用到铁路货运量预测领域，并提出了新的理论依据，通过大量对比数据分析，证实ARIMA模型在铁路货运量预测中有令人满意的应用效果。常国珍等[3]采用X-11季节调整法和ARIMA模型对火车运输量进行长期预测，成功定量分析雪灾对铁路客运量的直接影响。Lee[4]将ARIMA模型应用到铁路的短期客运量预测中，在铁路的短期客运量预测领域有较好表现。张蕾[5]通过使用ARIMA应用乘积法的季节周期模型对目前具有以周为统计周期的武广高铁的各个车站上车和下车旅客人数情况进行了周期预测。蔡昌俊和姚恩建等[6]用乘积ARIMA进出站客流预测模型构建了客运量的相关性和周期性之间的乘积关系，该分析模型的数学预测结果精度相对较好且具有理论普遍性。求森[7]将小波降噪和时间序列分析结合，使用神经网络进行预测误差，在北京信号全网络的客运量中取得了良好的降噪和预测效果。

时间序列预测法由于突出时间序列暂不考虑周围环境成分及其他因素干扰，在相同情况下存在着较大误差，若此时周围环境有稍大变动，会产生较大偏差。小波分析能够对时间序列进行多尺度地分析细化，使时间运动序列的基本特征信息得到精确保留。本文主要通过结合小波分析与时间序列分析，建立基于城市轨道交通客运量的预测模型，达到提升预测方法精度的目的，通过成都地铁交通一号线的交通客运量预测数据对上文所述预测方法模型进行分析验证。

1 小波分解与小波重构理论

本文运用小波分解技术，为了能够清晰表达，将原始小波信号分解为低频系数（信号趋势）以及高频系数（信号细节），如图1所示。

图1 小波分解

cA1和cD1是小波分解后的低频系数和高频系数，cA2、cD2是cA1小波分解后获得低频和高频两种系数结，按照规律，经过2尺度小波分解后，依次获得趋势部分cA3以及细节部分cD1、cD2、cD3，依次设定时间序列模型，通过每层的小波预估值进行再次组合，获得模型的各层预估值公式：

2 时间序列

时间序列是同一现象在不同时间的观察值排列而成的序列。自回归模型离不开时间序列在时间间隔为k=t-s的随机变量Xt与Xt-k之间的相关性，相关性采用自协方差γk和自相关函数ρk描述，p阶自回归模型AR(n)为：

选择AIC准则和SBC准则作为模型选择的标准，实现数据拟合精度和模型复杂度间的平衡，对模型进行拟合预测。

3 基于小波分析的客流时间序列预测模型

本文的数据处理流程可以分为三个阶段，即小波分解、分解序列的预测和分解预测序列的重组。

（1）小波分解。

得到时间序列在各个变换域中的小波分解序列和最后的尺度分解序列。

（2）分解序列的预测。

利用时间序列模型进行建模，预测各个变换域的小波分解序列。

（3）分解预测序列的重组。

利用小波重建技术将各个变换域中的预测序列合并，产生系统短期时间序列的预测。

选取2019年2月22日～9月9日成都地铁一号线客运量数据进行建模，如图2所示。

图2 地铁客运量时间序列

采用Daubechies9小波对地铁时间序列进行三层变换，得到的三层分解小波，如图3所示。

图3 db9小波三层分解

由图3可知，低频的小波保留了原始序列的基本信息，高频的小波保留了更多的细节信息。

基于db9小波对原始时间序列进行分解，得到低频系数cA2以及高频系数cD1、cD2，分别建立一个时间序列分析模型，如图4所示。

图4 低频系数和高频系数

选取第二层高频系数cA2为例，建立时间序列分析模型并进行短期预测。

判断原始序列的平稳性，采用ADF准则和KPSS准则进行综合判断，都不满足说明原子序列不满足关于平稳性的判定要求。对原始时间序列进行1阶差分，再次判断得到的时间序列，序列经过处理后满足平稳性要求。对时间序列进行自相关和偏相关分析，如图5所示。

图5 自相关和偏相关

由图5可知，在横线（2倍标准误差范围）内趋近于0，自相关图处于拖尾的状态，偏相关图在大约第三阶就已经开始截尾，初步拟定用IAR（1，2）模型，为了使模型的拟合更准确，采用AIC准则和SBC准则，对模型的拟合程度进行判断。

AIC和SBC判断阶数如表1所示。

表1 AIC和SBC判断阶数

因此采用IAR（1，4）模型对时间序列进行拟合比较准确，通过最小二乘拟合，到的时间序列分析模型：

对方程进行最小二乘拟合，得到模型的预测，其余两段亦如此，经检验，所有的时间序列模型的残差，都满足正态分布。

系数时间序列预测如图6所示。

图6 系数时间序列的预测

在此基础上，采用小波重构的方法对时间序列进行重构，结果如图7所示。

图7 预测数据与实际数据对比

由对比图可知，预测客运量与原始客运量的走向大致相同。由于客流数据受到许多不确定性因素的影响，预测的客流数据无法和真实的客流数据完全一致，需要误差分析，分析预测后的客流数据是否在允许的误差范围内，本文采用绝对误差分析的方法。

将客运量用经典的时间序列进行分析，基于小波分析的时间序列的预测值比经典时间序列分析得到的更准确。

误差分析如表2所示，两种预测方法的比较如表3所示。

表2 相对误差和绝对误差

表3 两种预测方法的比较 单位：%

4 结语

本文结合离散一维db9小波分析和时间序列分析，提出了基于小波分解的时间序列预测算法进行客流预测。应用该预测算法可以大致掌握乘客流动的状态，合理地分配运输能力，保证乘客安全和资源的高效利用。采用基于小波分解的ARIMA时间序列客流预测方法，预测地铁客流的效果较好，但由于地铁客流的随机性和复杂性比较高，为了保证预测的准确性，还需要考虑气候、节日等因素，有效性亟待进一步验证。