喷砂除锈并联机器人模糊自适应滑模控制

高 航，高国琴，方志明

（江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212013）

0 引言

并联机器人因精度高、刚度大、结构简单等优点受到企业和研究机构的青睐。本文研究对象喷砂除锈并联机器人Stewart 并联机构具有动平台位姿控制方便、机构尺寸小、刚度大、点对点对位精度高、自由度广等优点，为其在加工制造、装配与模拟驾驶等领域的应用提供了可行性。并联机构的轨迹控制对其应用起决定性作用，考虑到其动态特性，可基于机构动力学模型采用动力学控制，以有效提高运动精度。然而，机构动力学模型本身的特性以及外界干扰的不确定性制约着该方法的应用，尤其是Stewart 并联机构关节换向、关节过零速导致的摩擦力正负突变现象，会使系统跟踪产生较大误差，严重影响控制精度。因此，研究如何减少Stewart 并联机构摩擦力突变对控制精度的影响具有重要意义。

常用摩擦力控制方法为基于摩擦模型的补偿控制，分为固定模型补偿和自适应补偿，其中固定模型补偿在模型参数优化选择上存在困难，而自适应补偿参数需通过线性迭代估计确定［1］。文献［2-3］先对摩擦模型作线性参数化处理，再通过自适应律在线辨识模型参数；文献［4］基于LuGre 模型设计观测器进行补偿。然而目前摩擦模型尚未有统一标准，无法确定哪个模型最为适合，因此依赖某个摩擦模型设计控制律有一定局限性。滑模控制在机器人领域应用广泛，由于其具有实现简单、应用方便、鲁棒性强等优点，亦被应用于抑制结构的关节摩擦干扰［5-7］。近年来比较流行采用智能算法在线逼近机器人关节摩擦，如模糊控制［8-10］、神经网络控制［11］以及模糊神经网络控制［12］等。文献［8］利用模糊控制的非线性逼近函数辨识关节摩擦，但控制律需获取不确定性上界；文献［12］采用模糊神经网络辨识机器人的关节摩擦，但参数取值与计算过程比较繁琐。以上文献均只给出了速度稳态时的控制效果，没有阐明关节过零速时摩擦突变现象对机器人控制精度的影响。对此，文献［13-14］基于自抗扰控制器，采用模糊自适应参数整定方法抑制了航天器在飞轮过零速时摩擦力突变引起的力矩突变。然而，目前在并联机构控制方面考虑摩擦突变影响的文献还很少。

本文考虑到Stewart 并联机构6 条电动缸摩擦力突变的影响，建立系统动力学模型，以滑模控制为核心，提出鲁棒自适应律和模糊控制，设计了一种模糊自适应滑模控制方法。

1 喷砂除锈Stewart 并联机构

1.1 机构简述

喷砂除锈并联机器人实物如图1 所示，由Stewart 并联机构、升降平台和移动平台构成，具有结构相对简单、工作范围大、承载能力较强等优点。与移动平台和升降平台相比，Stewart 并联机构作为喷砂除锈机器人的主体，其控制性能的好坏对喷砂除锈质量有较大影响。为此，本文将Stewart 并联机构作为研究重点。

Stewart 并联机构的简化结构与数学模型如图2 所示。Stewart 并联机构由定平台、动平台、6 根电动缸和12 个虎克铰组成。在定平台中心Og建立惯性坐标Og XgYgZg，在动平台中心Op建立运动坐标系Op XpYpZp。分别设动平台、定平台上的虎克铰为Ai、Bi(i=1,…,6)，定平台和动平台由虎克铰和电动缸连接，通过电动缸的伸缩运动，动平台可以进行6 个自由度的空间运动：沿运动坐标系X、Y、Z轴的移动分别用变量x、y、z表示；绕X、Y、Z轴的转动分别用欧拉角α、β、χ表示。动平台和定平台的半径分别为R0、R1，动平台上两相邻铰点与动平台中心的夹角为θ0，定平台上两相邻铰点与定平台中心的夹角为θ1。并联机构处于初始状态时，各电动缸长度为l，定平台与动平台之间的高度为ℎ。

Fig.1 Physical picture of sandblasting and rust removal parallel robot图1 喷砂除锈并联机器人实物

Fig.2 Sketch of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism图2 喷砂除锈Stewart 并联机构简图

1.2 运动学分析

运动坐标系原点Op在惯性坐标系下的矢量表示为t=[x y z]T，动平台运动时，运动坐标系与动平台相连，则动平台理论位姿向量在惯性坐标系中可表示为：

q为Stewart 并联机构在工作空间的广义坐标。动平台虎克铰在运动坐标系中的定义为定平台虎克铰在惯性坐标系中定义为bi=[bix biy biz]T（i=1,2,…,6）。将动平台虎克铰经过空间坐标变换可得到动平台上虎克铰相对于惯性坐标系的向量ɑi，变换表达式为：

式中，T为旋转矩阵，表示动平台绕坐标系Zg旋转角χ，然后绕Yg旋转角β，最后绕Xg旋转角α，则可得旋转矩阵表达式为：

式中，s和c分别代表三角函数sin 和cos。

式（2）两边同时减去矢量bi可得6 根电动缸的长度矢量方程为：

式中，li表示电动缸位移矢量，结合式（2）和式（4）对li求模即可得到如下电动缸位移表达式：

1.3 动力学分析

本文研究对象是一个典型的完整系统，拉格朗日法能满足完整系统建模需求［15］。因此，通过推导机构的雅可比矩阵结合拉格朗日法建立动力学方程。

雅可比矩阵既能表示驱动关节到动平台广义速度之间的映射关系，亦能表示驱动关节驱动力与动平台广义力的传递关系。定义如下：

式中，˙为动平台广义速度，J为机构雅可比矩阵，l=[l1l2…l6]T，为驱动关节位移矢量，l˙为驱动关节速度矢量。

推导˙到动平台上各虎克铰的雅可比矩阵J2，动平台上各虎克铰相对于惯性坐标系的坐标向量为ɑi，对ɑi进行求导可得以下表达式：

式中，vɑ表示动平台虎克铰速度矢量，J2为˙到vɑ的雅可比矩阵，具体形式如下：

式中，I3为3 阶单位矩阵，Si,j,k为反对称矩阵，当：

Tz,Ty,Tx表示旋转矩阵T在各坐标轴上的分量。

推导动平台上虎克铰速度矢量vɑ到驱动关节速度矢量l˙的雅可比矩阵J1，设l˙=J1vɑ，则：

结合以上两个雅可比矩阵定义，可以得出驱动关节速度矢量l˙与动平台广义速度˙的雅可比矩阵为：

拉格朗日函数L定义为系统动能K与系统势能P之差，即L=K-P，该拉格朗日方程可表示为：

式中，mp为动平台质量，Ip为相对于运动坐标系的惯性矩阵，即：

将式（14）和式（18）代入拉格朗日动力学方程（13），可得到以下动力学标准方程：

式中，G(q) ∈R6×1为重力项，由式（18）可得：

基于以上构建Stewart 并联机构的拉格朗日方程，表示为：

式中,F并非电动缸所提供的驱动力，而是作用在理论位姿q上的假想力，且F=JTτ。因此，统一的Stewart 并联机构拉格朗日方程可表示为：

机构在实际工作过程中，电动缸来回伸缩，关节过零速，电动缸存在摩擦力正负突变现象。经典的库仑加粘性摩擦模型能表示出电动缸在过零速时的不连续性，其数学模型为：

式中，Fc为电动缸的库仑摩擦力，v为电动缸的伸缩速度，v(k)、v(k+1)分别表示电动缸k时刻和k+1 时刻的速度，f(k)表示k时刻的电动缸摩擦力，μv为粘性摩擦系数。

考虑到机构还存在建模误差、外部干扰和参数时变等不确定因素，均有可能影响机构总体控制性能。因此，进一步优化得到更加准确的Stewart 并联机构动力学模型为：

为简化式（25）所示动力学模型，将建模误差、摩擦与外部干扰集中起来作为总的不确定项，记为d。因此，式（25）可表示为：

2 模糊自适应滑模控制器设计

模糊自适应滑模控制原理如图3 所示。

2.1 鲁棒自适应律设计

通过将系统轨迹保持在滑模面s(t)=0 上，可以解决跟踪控制问题，本文选择积分型模面［17］。

式中，s(t)∈R6×1；λ∈R6×6，是1个对角正定矩阵；e=分别为跟踪位置误差矢量和跟踪速度误差矢量，其中矢量qd和q分别为广义坐标的期望值和实际值。式中引入了误差积分，保证零偏移误差。在存在较大初始误差的情况下，积分会导致较大超调与执行器饱和，因此只有当误差在一定范围内时才能启动控制器的积分作用。

控制器设计的下一步是选择具有可变参数的控制律，以使Lyapunov 函数成为时间的递减函数［18］。选择以下控制律：

式中所提出的ueq、upid和定义如下：

（1）等效控制项ueq表示在没有扰动的情况下，用于近似已知的系统可以基于Filippov 等效动力学构造［19］。当处于滑动模态时，s˙=0，通过式（27）可以推导出˙为：

Fig.3 Schematic diagram of controller图3 控制器原理框图

（2）反馈项upid能增强系统的闭环稳定性并改善系统运行过程中的瞬态性能，补偿由于估计扰动可能导致的误差，定义如下：

式中,K为对角正定常数矩阵，upid项为针对滑模变量s的比例控制。

（3）鲁棒自适应项是为了补偿不确定项，基于不确定项定义为：

式中，为1 个设计参数，通过在控制律中加入在线估计不确定项，无需知道不确定项上界。为了得出，本文将在下节鲁棒性和稳定性分析中进行详细推导。

基于以上内容，提出以下鲁棒自适应律：

2.2 稳定性与鲁棒性分析

为证明本文所提出控制器的稳定性和鲁棒性，采用以下稳定性定理：由式（26）表示的非线性不确定系统如果采用式（34）所示的控制律，可以保证系统在模型不确定性和扰动情况下的渐进稳定性。

为证明控制器的鲁棒性和稳定性，并推导出不确定估计项，选择以下Lyapunov 函数：

式中，Λ为对角正定常数矩阵，E为集总不确定项估计误差向量，定义如下：

如果选择以下自适应律：

此时，在两个不同假设下进行稳定性分析：慢时改变不确定项，可以保证系统渐进稳定；快时改变不确定项，可以实现状态空间原点的小范围有界性和收敛性。

假设1：假设不确定项任意大，并且随时间变化缓慢，此时为零或可忽略不计。例如较大，但对于控制回路的采样时间而言变化缓慢或变化很小，如果=0，式（41）可表示为：

式（42）始终为负或零，证明轨迹会渐渐从任何非零初始误差收敛到滑模面s=0，并确保系统稳定性。

假设2：假设不确定项任意大，时变快，但有界。通过式（41）可知，不等式能导致系统渐进稳定，系统状态更快收敛至平衡点。满足上述不等式的两种情况为：①E>0 和>0，即它们的分量均为正，估计误差和不确定项随时间的变化率均有利于闭环系统的稳定；②在最坏情况下，即式（41）可以表示为：

为展示具有快速时变和有界不确定性系统的最终有界性，并为选择设计参数提供指导，对闭环动力学进行分析，可通过式（40）估计不确定项，即：

所提出的估计量源于不确定项对滑动函数动力学的影响，因此s从t0到t的积分可以表明不确定项。

通过替换式（34）中的不确定项，可以得到以下鲁棒自适应律：

2.3 自适应增益模糊规则设计

鲁棒自适应律式（45）无法有效估计不确定项扰动，这是由于在移动副过零速时摩擦力发生突变，不确定项也随之发生突变，理论上会趋向无穷大，此时为确保自适应律能更好地估计，应增大自适应项增益Λ。因此，需要根据不确定项的变化调整自适应项增益Λ大小，具体调整规律可从大量仿真经验中获得。考虑到模糊控制［20］是基于专家、操作人员的控制经验与知识，本文采用模糊逻辑系统实现对自适应项增益Λ的动态调整。

滑模面大小可以反映出不确定项的变化情况，因此将滑模面作为选择自适应项增益的参考，对Λ的每个分量Λi建立模糊逻辑系统，以s和˙作为模糊系统输入，Λi作为模糊系统输出，模糊规则表达式如下：

规则（1）系统远离滑模面，趋近滑模面的速度为零，自适应项增益取较大值。规则（2）系统离滑模面不远，且正在接近滑模面，自适应项增益取小值。规则（3）系统在滑模面上，但由于滑模变量导数非零，系统正趋于离开滑模面，自适应项增益取较小值。规则（4）系统在滑模面上且由于滑模变量导数为零，系统不能离开滑模面，自适应项增益取适中值。利用相似推理规则构建补偿摩擦力突变模糊自适应滑模控制器模糊规则，具体规则见表1。

Fig.4 Membership function of fuzzy system图4 模糊系统的隶属度函数

3 仿真试验与结果分析

为验证所设计控制方法的正确性与有效性，以式（26）所示的喷砂除锈并联机器人Stewart 并联机构为被控对象，分别对传统滑模（Sliding Mode Control，SMC）和本文提出的模糊自适应滑模控制（Fuzzy Adaptive Sliding Mode Control，FASMC）进行MATLAB 仿真研究，其中Stewart 并联机构主要参数如表2 所示。

Table 1 Adaptive gain fuzzy rule表1 自适应增益模糊规则

Table 2 System parameters表2 机构参数

进行仿真时，取模型各个参数误差率为10%，在移动平台上方施加变负载15 sin(1.5t)N·m。摩擦模型参数Fc=5N,μv=0.2；动平台期望轨迹设为y(t)=0.1sin(πt)；位姿初始状设为y(0)=0.02m；控制器参数K=diag(100),λ=diag(5),Λ=diag(15 000)。采用四阶Runge-Kutta 法求解系统动态响应，仿真步长取0.001s。

由于Stewart 并联机构沿Yp轴运动，6 条电动缸运动轨迹呈两两对称现象，因此图5 和图6 仅给出其中3 条不同运动轨迹的关节信息。由图5 可知，传统滑模控制在系统整个运行过程中存在严重驱动力抖振，特别是在关节过零速导致摩擦力发生突变时，驱动力抖振更为严重，会降低电机使用寿命，因此该方法不适合实际应用。

由图6 可知，本文方法的控制量输入与传统滑模控制相比具有抖振较小的优点，有利于机构平稳运行。这是由于鲁棒自适应项替换了滑模鲁棒项，能实时估计不确定项并加以补偿。

由图7 可知，动平台沿Y轴做正弦运动时，若摩擦力不发生突变，鲁棒自适应律（Adaptive Sliding Mode Control，ASMC）与本文方法均能较好地跟踪，控制误差较小。当运动到0.1m 和-0.1m 位置时，动平台换向，各关节过零速导致摩擦力发生突变，此时ASMC 轨迹发生滞滑，并在运动约0.05m 后才能重新跟踪成功，说明ASMC 对摩擦力突变较敏感。通过对比，本文方法在整个运行过程中都能较好地跟踪期望轨迹，这是由于其通过模糊规则调节自适应项增益，使自适应项在摩擦力发生突变时也能准确估计不确定项并作补偿，增强了系统鲁棒性。图8 反映了关节1 上不确定项估计值与实际值的对比，模拟电动缸伸缩换向时，摩擦力发生突变，可以看出模糊鲁棒自适应律可准确平稳地逼近不确定项。

Fig.5 SMC driving force curve图5 SMC 驱动力曲线

Fig.6 FASMC driving force curve图6 FASMC 驱动力曲线

Fig.7 Y axis trajectory tracking图7 Y 轴轨迹跟踪

Fig.8 Drive joint 1 uncertain term图8 驱动关节1 不确定项

4 结论

本文对喷砂除锈并联机器人Stewart 并联机构进行了运动学分析，并在其工作空间建立了动力学模型，提出了一种可以实时补偿摩擦力和不确定项的模糊自适应滑模控制方法。该方法集合了滑模控制、自适应控制和模糊控制的优点，同时弥补了这些方法的缺点。本文还分析比较了传统滑模控制与模糊自适应滑模控制的控制效果，结果发现传统滑模控制存在驱动力抖振问题，所设计的鲁棒自适应律能削弱驱动力抖振，但对摩擦力突变较敏感，在机构摩擦力突变时存在轨迹跟踪畸变问题。

在鲁棒自适应律的基础上进行改进，将智能控制方法与传统控制方法相结合，通过模糊控制器动态调整鲁棒自适应增益，可有效估计摩擦力突变带来的干扰，提高系统鲁棒性。本文设计的模糊自适应滑模控制器结构简单，在鲁棒性、跟踪误差收敛性和干扰估计方面均表现出色，适用于类似于电动缸等往复运动器件构成的多输入多输出复杂不确定系统。

本文仅研究了Stewart 并联机构在摩擦力突变时的轨迹跟踪问题。然而，在实际工作场景中，末端喷枪会产生较大射流反作用力。在后续研究中将考虑射流反作用力的影响，并在此基础上验证和改进控制方法，进一步提高该方法的实用性。