L2空间至L2空间的算子刻画

汪成咏，王序岩

（北京交通大学数学系，北京 100044）

0 引言

向量值函数的相关问题讨论是1957年由Hille和Phillips 在Functional Analysis and Semi⁃Groups［1］（泛函分析与半群）中首次提出，并进行了简单的推广.之后的学者在此基础上进一步研究确定了这个函数在n维空间中的构成和基本特性，并证明了可积和可微性.但是由于这种函数的特殊性，导致很多性质难以直接从特殊状况推广到一般状况，如对于向量值函数奇异积分算子的有界性研究.所以对一些相对特殊的函数空间内的有界线性算子的研究就显得格外重要，这便是本文的核心研究意义.

向量值函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，算子理论作为基础数学的一个重要分支，是函数论学者热衷于研究的一个方向，并且形成了一整套严谨的理论体系.Stein 和Weiss曾经在《欧式空间上的Fourier 分析引论》［2］中讨论过广义函数情况下L2空间至L2空间上的算子结构，却尚未有人给出向量值函数空间下的相关算子结构，本文讨论了相关问题，并给出了具体结构及证明.

1 预备知识

设ℋ1与ℋ2是2 个可分Hilb ert 空 间，以B(ℋ1，ℋ2)表示从ℋ1到ℋ2的有界线性算子的全体构成的完备赋范线性空间.K是从Rn到B(ℋ1，ℋ2)的算子值函数，假定K是强可测的.f(x)是从Rn到ℋ1的强可测函数，则K(x−y)f(y)是Rn× Rn=R2n到ℋ2的强可测函数.

2 主要结果

3 结束语

本文对向量值函数空间上的一类有界线性算子进行了刻画，得到了向量值函数的奇异积分里的一个新的算子方面的结论.向量值函数空间上的有界线性算子，随着空间维数的降低，其性质和结构会越来越复杂，本文给出的是L2()Rn空间上的有界线性算子，并希望未来可以给出L1()Rn空间上的有界线性算子的具体结构和性质及其证明.文章主要不足之处在于虽然很确定最终的结论是正确的，但是中间的证明过程略显冗杂，理论上应该有更加简便一点的证明方法，希望可以给出更好的证明过程.