正六边形孔蜂窝梁挠度分析

严 辛，曾彩艳，卢婷婷

1.九江职业大学建筑工程学院，江西 九江 332000

2.昆明理工大学设计研究院，云南 昆明 650051

蜂窝梁大多为二次加工制作而成。选择宽翼缘热轧型钢或者热轧工字钢，在腹板位置沿一定路径切割，再将两部分错位焊接。与传统桁架结构相比，蜂窝梁结构形式更加简洁，表面积更小，从而节省了油漆、防腐等费用。在承载能力大体相同的情况下，与传统的实腹式钢梁相比，采用蜂窝梁用钢量可以降低约30%。另外，钢构件的运输、安装费用与重量直接相关，故采用蜂窝梁还可带来显著的经济效益[1]。

目前，学术界对于蜂窝梁挠度计算的研究大多数都只是给出了复杂的理论解析公式，如果能总结出一套更加简洁实用的设计方法，则更有利于蜂窝梁工程应用的推广。

1 静定结构在荷载作用下的挠度计算

根据虚功原理，可以推导出任意结构体系的挠度：

忽略温度改变、支座位移等因素，暂不考虑支座位移影响，可得静定结构在荷载作用下所产生的位移的计算公式：

式中：FN、FQ、M为结构体系在微段ds上所受到的实际内力；为结构体系在虚单位荷载作用下结构的虚内力。

式（2）具有普遍性和一般性，同样适用于蜂窝梁的挠度计算。

2 基本假定

由于腹板开孔，计算蜂窝梁挠度时除了可以参照实腹梁和材料力学经典理论计算其弯曲和剪切挠度，还考虑到梁桥处腹板刚度减弱，由其引发的弯曲变形也不能忽视，下文将其称作梁桥附加挠度。这样一来，蜂窝梁的挠度计算就变得比实腹梁复杂。尤其是对于梁桥附加变形的计算，一直都没有公认的既简单实用又精确的计算方法。

文章将蜂窝梁挠度分解成弯曲挠度、剪切挠度和梁桥附加挠度三部分。其中，梁桥附加挠度的计算难度较高。

有必要说明的是，以下推导过程基于如下基本假定进行：（1）梁为弹性体，钢材各向同性；（2）梁的截面保持平面变形；（3）空腹截面处的总剪力按照截面抗剪刚度分配。

3 蜂窝梁的弯曲挠度及剪切挠度

弯曲挠度与梁刚度有关，带入蜂窝梁等效刚度后，可得蜂窝梁的弯曲挠度计算式[2]：

式中：Is、Io分别为实腹截面和孔洞处空腹截面的惯性矩；fsm为相对应腹板未开孔实腹钢梁的剪切挠度。

正六边形孔蜂窝梁等效示意图如图1所示。其中，M为蜂窝梁所受弯矩；s为蜂窝梁腹板纵向开孔间距；D为腹板纵向开孔尺寸；h为梁高。

图1 正六边形孔蜂窝梁等效示意图

剪切挠度与梁横截面积有关，代入等效截面参数后，可得蜂窝梁的剪切挠度表达式：

式中：As、Ao分别为实腹截面和孔洞处腹板横截面的面积；fsv为相对应腹板未开孔实腹钢梁的剪切挠度。

剪力作用下矩形孔蜂窝梁及假想截面分布如图2所示。其中，V为蜂窝梁所受剪力；l为蜂窝梁腹板纵向开孔间距。

图2 剪力作用下矩形孔蜂窝梁及假想截面分布

对于蜂窝梁的弯曲挠度和剪切挠度计算，业内已有大量研究成果，不再赘述。

4 蜂窝梁的梁桥附加挠度

参照材料力学经典理论计算其弯曲挠度和剪切挠度，并考虑蜂窝梁开孔后在梁桥处刚度突然减弱而产生的变形，把蜂窝梁简化为空腹桁架，桁架杆件间刚性连接，其反弯点位于桁架正中[3]。参考反弯点法求解蜂窝梁梁桥处沿y轴方向的变形，简化过程如图3所示。

图3 蜂窝梁计算简化过程示意图

计算附加挠度时需要考虑梁桥处T型截面绕x轴的弯曲刚度，以下用EITx表示；相应的墩腰处绕x轴弯曲刚度用EIwebx表示。简化过程中，假设墩腰处绕x轴弯曲刚度远大于EITx，用D表示相应梁桥跨度，并忽略墩腰沿z轴方向的长度，将此视为1根桁架腹杆，其绕x轴弯曲刚度远大于梁桥绕x轴弯曲刚度。

综上所述，此节蜂窝梁梁桥附加挠度fvm的推导过程基于如下假定：（1）假定反弯点位于梁桥中点，且反弯点处弯矩为零，剪力不为零；（2）假设EIwebx远大于EITx；（3）假定简化后的桁架弦杆和腹杆之间端部转角相同，反弯点位置固定不变；（4）取梁桥的跨度为D，忽略墩腰沿z轴方向的长度。

上述假定是运用反弯点法的前提。需要注意的是，反弯点法适用范围仍然有限，只有当上、下弦杆线刚度与桁架腹杆线刚度之比不小于3时才适用。

运用反弯点法的前提是假定简化后的空腹桁架上、下弦杆和桁架腹杆之间端部转角相同，反弯点位置固定不变；反弯点处弯矩为0，剪力不为0。

文章研究的正六边形孔蜂窝梁上、下肢对称分布，刚度相等，单位剪力Vi分配到单肢的剪力为

单肢沿y轴方向的刚度为

另外，根据弯曲刚度的物理意义有

综上所述，可以很方便地求得一个计算单元的竖向挠度：

此即单个计算单元所产生的沿荷载作用方向的变形值。可以把这个结论放大到蜂窝梁的全长范围，假设蜂窝梁总共有n个开孔单元，则半跨上0.5n个计算单元的挠度相累加，得到的就是简支蜂窝梁跨中的挠度；全跨上n个计算单元的挠度相累加，得到的就是悬臂蜂窝梁跨中的挠度。文章研究简支蜂窝梁，不同的荷载作用类型，总附加挠度值的表达式也有所不同。

对于一个受均布荷载作用的梁，有

代入一个计算单元的挠度表达式中，可得均布荷载作用下的总附加挠度表达式：

对于一个受跨中集中荷载作用的梁，有

代入一个计算单元的挠度表达式中，得到跨中集中荷载作用下的总附加挠度表达式：

定义ITx为蜂窝梁开孔处T形截面绕x轴的惯性矩，有

根据材料力学的原理，可得所求的蜂窝梁梁桥处T形截面的惯性矩：

5 蜂窝梁的挠度

分别推导出不同部分挠度的表达式后，可得蜂窝梁的挠度计算公式：

式中：f为蜂窝梁的总挠度；fsm为对应未开孔实腹梁的弯曲挠度；fsv为对应未开孔实腹梁的剪切挠度；γm为蜂窝梁弯曲挠度放大系数；γv为蜂窝梁剪切挠度放大系数；fvm为正六边形孔蜂窝梁梁桥附加挠度；[f]为蜂窝梁的容许挠度。

其中，对应未开孔实腹梁的弯曲挠度及剪切挠度根据蜂窝梁所受荷载情况的不同而不同。

当蜂窝梁受到上翼缘均布荷载作用时，对应未开孔实腹梁的挠度为

当蜂窝梁受到上翼缘跨中集中荷载作用时，对应未开孔实腹梁的挠度分别为

6 结束语

文章基于刚性节点桁架理论，引入梁桥附加挠度的概念，分析得到了蜂窝梁挠度计算的解析式。虽然得到了一定的结论，但是仍有许多有待进一步研究的工作：（1）仅对正六边形孔蜂窝梁进行了探讨，未涉及其他孔型；（2）只研究了简支梁，未涉及诸如两端固接、悬臂、弹性支座等更复杂的情况；（3）只考虑了典型荷载作用，对于非典型荷载作用下蜂窝梁的性能，还有待进一步的研究；（4）只做了线性分析，未考虑初始缺陷、残余应力的影响。