基于学科本质理解的高考数学试题分析—以一道解析几何题为例

张丽楠 张生春

解析几何作为高中数学核心内容之一，是高考必考知识点。本文通过对2018年全国数学卷Ⅰ理科第19题的剖析，试图揭示试题内涵和命题立意，以期对高中数学教学有所启示。

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明:∠OMA=∠OMB．

一、试题分析

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。本题第一问较为简单，主要考查椭圆和直线的基本概念与性质。第二问的关键是如何理解“∠OMA=∠OMB ”，如何将这一几何对象进行恰当的代数表征，进而利用代数方法进行解答。同一数学对象，理解的角度不同就会有不同的转化思路，也会有不同的代数表征，相应就会有不同的解题思路：

（1）若∠OMA=∠OMB，则直线MA，MB的倾斜角互补，故kMA+kMB=0；

（2）若∠OMA=∠OMB，则OM是角平分线，利用角平分线定理转化:三角形内角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边对应成比例；

（3）若∠OMA=∠OMB，则可构造三角形，利用余弦定理分别把两角余弦表示出来，建立关于线段长的等量关系；

（4）若∠OMA=∠OMB，则可依托此两角构造相似三角形，利用相似比建立等量关系。

（5）若∠OMA=∠OMB，则可利用角平分线是角的对称轴的性质转化:验证B点的对称点在直线MA上，或者直线MA、MB在y轴上的纵截距互为相反数；

（6）若∠OMA=∠OMB，利用角平分线的定义转化:角平分线上任一点到角两边的距离相等，或者用向量法计算两夹角相等。

二、试题引申

本题如果利用椭圆第二定义则更加简单：

如图，由已知易得，M点所在直线x=2为椭圆的右准线．过点A作x=2的垂线，垂足为C，过点B作x=2的垂线，垂足为D．

过点A作x轴的垂线，垂足为P，过点B作x轴的垂线，垂足为Q．

所以∠AMC=∠BMD，因此，∠OMA=∠OMB．

当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°．

综上，∠OMA=∠OMB．

利用这种解法，还可以得到本题的更一般情形：设椭圆过椭圆的右焦点F（c，0）的直线与椭圆交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

并且如果M是准线与对称轴交点，F是对应焦点，则此结论可以推广到所有圆锥曲线。如果是抛物线，只要两定点在抛物线对称轴上且关于抛物线顶点对称，上述结论依然成立，这就是所谓的“题源”。例如：

（2018年全国卷Ⅰ文科数学，20题）设抛物线C:y2=2x，点A（2，0），B（-2，0），过A点的直线l与C交于M，N两点．

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

（2）证明:∠ABM=∠ABN．

（2015年全国卷Ⅰ理科数学，20题）在平面直角坐标系xoy中，曲线C:y=x2—4与直线l:y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由．

三、教学启示

首先，要强化学科本质的理解。从学生答题情况来看，虽然明白“解题的套路”，但只是机械套用，并未理解解决问题的基本思想，表现为机械联立方程组，列出根与系数关系，而对“此关系有何用，为什么要求得此关系”则不清楚。

其次，要强化学科素养的养成。一方面解析几何的特点决定了其是综合评价学生逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力的良好载体；另一方面由于其本身的综合性，也使其成为考查学生灵活运用知识分析问题、解决问题以及创新能力的有效载体。

最后，在教学中，一方面要加强核心概念、基本方法的理解与训练，强化解析几何与平面向量、解三角形等相关知识的联系；另一方面，也要加强学生实验观察、自主探究、预测猜想、抽象概括、模型建构、质疑反思、推理论证等能力的培养。