数学模型用于“种群数量的变化”的教学设计

刘田田

摘要：数学模型是培养学生理性思维和科学探究的重要科学方法，将其贯穿整个教学过程，以细菌问题入手，逐步改变条件，建构“J”型曲线、“S”型曲线，提升学生的建模能力和理性思维，突破教学重难点，区分两种模型成立条件，结合酵母菌数量变化的预实验，培养学生探究能力，感悟科学研究的严谨性。

关键词：数学模型;种群数量;理性思维;科学探究

1 教学背景分析

1.1课标分析

课程标准中关于本节的具体内容标准是：“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”，并提出“探究培养液中酵母种群数量的动态变化”[1]。引导学生以数学关系描述生命现象，运用逻辑推理揭示生命活动规律是本节教学设计的重点。

1.2教材分析

“种群数量的变化”是人教版高中生物必修3《稳态与环境》第4章“种群和群落”的第2节内容，共三部分。第一部分，建构种群增长模型的方法;第二部分，种群数量的变化情况;包括种群增长的“J”型曲线、种群增长的“S”型曲线、种群数量的波动和下降;第三部分是“探究”——“培养液中酵母菌种群数量的变化”，共计2课时。为方便学生理解，第1课时的重点内容为数学模型的建构，引导学生建构“J”型曲线和“S”型曲线的数学模型，并将酵母菌实验作为预实验引入课堂;第2课时再详细讲解各曲线的生物学意义。

1.3学情分析

本课时主要以构建数学模型为主，需要学生有相应的数学基础。本节为高中必修3第4章的内容，对象是高二学生，他们已经学习了指数函数，具有一定的数学归纳能力，在教师的引导下能够构建简单的数学模型。本章第1节，学生已有种群密度的概念，掌握了种群的特征，根据提示，他们可以将生命现象进行量化，以数量关系描述生命现象，再运用逻辑推理、求解和运算等达到对生命现象进行研究的目的。

2 教学目标

2.1 知识目标 说出建构种群增长模型的方法;明确数学模型构建的步骤。

2.2 能力目标 学会建构种群增长的数学模型;用数学模型解释种群数量的变化趋势;运用种群数量变化规律解决生活中遇到的实际问题。

2.3 情感态度与价值观 通过学习，意识到环境因素（尤其是人类活动）对生物种群数量变化的影响;领悟建立模型的科学方法及其在科学研究中的作用。

3 课前准备

生物兴趣小组进行预实验——“探究培养液中酵母菌种群数量的变化”（详细过程见4.3.2）。

4 教学过程

4.1 案例引入，激发兴趣

教师用图片和文字讲述“水葫芦”（即凤眼莲）和大熊猫的种群数量差异。指出：在夏季的长江流域水葫芦泛滥成灾，环卫工人每日打捞515吨也难以控制其数量;大熊猫濒临灭绝，为增加数量，需建立自然保护区，进行人工繁殖。两者数量为何会有如此大的差异？从而引出本节内容。

设计意图：以日常生活常见现象为切入点，引出学习内容，激发学生兴趣，促使学生从简单问题中提炼生物学问题。

4.2 数学模型概念，探究细菌数量的变化

教师向学生介绍数学模型的概念，以及在种群数量研究中的重要作用，以细菌为例，学习数学模型的研究方法。

假设：若某细菌每20min 繁殖一代，一分为二，20min，40min，60min……后，会产生多少个细菌？填写教材第66页表格内容。提出以下问题：①你能否快速准确地说出10000h后细菌的数量？②若N表示繁殖后的细菌数量，n表示分裂次数，请写出1个细菌n次分裂后的数量计算公式。③除了公式，能不能换一种数学形式，可以直接看出细菌数量变化的趋势？④假如细菌的起始数不是1而是N0，n次分裂后细菌数量计算公式又是什么呢？⑤细菌可以一直按照这个公式增长吗？为什么？

组织学生进行3分钟的讨论，再请学生逐一回答上述问题。根据问题①和问题②，得出1个细菌n次分裂后的数量计算公式N=2n;由问题③总结数学模型的两种表现形式——公式N=N02n和曲线图，并由此比较两种方式的优缺点;问题④将具体问题普遍化;问题⑤强调公式成立的条件——“环境和資源无限多”的理想条件。

教师出示资料：科学家在实验室条件下培养细菌，定期分装，并向其中加入营养物质，使细菌始终生活在营养和空间资源无限多的环境中。经过反复实验，统计数据，绘制出曲线图，和学生的曲线图对比，进行验证，由此提出“J”型曲线。结合细菌数量变化的探究历程，总结数学模型的建构过程。

设计意图：用问题启发式进行教学，层层递进，启发学生推测出一个细菌的增长公式，N0个细菌增长公式，归纳公式成立的条件;引导学生体验数学模型的建构过程，总结数学模型研究方法的一般步骤。

4.3 数学模型的运用

4.3.1 模型一 种群增长的“J”型曲线

教师提问：科学家在人工实验的条件下，为细菌提供了一个理想条件，使它呈“J”型增长。那同学们猜一下，自然界中会存在这种资源空间无限多的的理想条件吗？根据学生的回答，检查预习效果。

教师结合教材，出示环颈稚和澳大利亚野兔在一定时间内数量增长的图文资料，两者均呈“J”型增长。由学生归纳野兔疯狂增长原因：气候适宜，食物充足，缺少天敌，生存空间大，教师指出这就是理想条件的具体含义。质疑：野兔和环颈稚“J”型增长的方程式也能用细菌N=N02n来表示吗？组织学生进行分组合作、交流讨论，学生根据细菌个案，建构模型一。

提示学生易错点：①对类似环颈稚、野兔数量的检验修正可通过对实际数量进行统计后绘制;②“J”型增长的公式表达N=N0入t和曲线图均要在理想条件下才能形成，可以通过实验室条件设置，也可以把种群迁入新环境的最初一段时间看成理想条件。

设计意图：引导学生从细菌个案分析一般种群，能运用类比的方法研究问题;学会从资料中归纳提取关键词，总结规律;学会数学模型的应用，鼓励学生小组讨论，学会合作。

4.3.2 模型二 种群增长的“S”型曲线

教师提问：细菌的“J”型增长，要在理想条件下才会发生。但讨论问题⑤时，有同学认为在资源有限时，不会以这样的趋势增长。那么在环境资源有限的情况下，细菌数量会如何增长呢？请大家猜想，并画出细菌增长的曲线。

学生画图，并说出画图理由，允许学生出错。这一过程实际已经完成数学模型建构的前三步，建构出曲线图形式的模型。

为了验证学生构建的数学模型曲线图是否正确，生物兴趣小组探究了有限环境中种群数量的变化，进行了预实验。由于细菌不便于直接观察和技术，他们以酵母菌为实验材料，对“培养液中酵母菌种群数量的变化”进行探究。

实验目的：探究酵母菌种群数量变化，建构培养液中酵母菌种群增长的数学模型。

提出问题：酵母液中酵母菌种群的数量是怎样随时间变化的。

作出假设：合理即可。

实验材料：显微镜、血球计数板、盖玻片、试管、胶头吸管、马铃薯葡萄糖肉汤等。

操作过程：取9支试管，每只试管中放入10ml培养液，放入等量酵母菌培养。将9支试管分为A、B、C三组，在10：00、15：00、20：00估算出10mL培养液中酵母菌的初始数量（N0）。在此之后于同一时间连续观察7天，分别记录下7天的数值。根据血球计数板计数室的酵母菌数目，估算试管中酵母菌总数，计算平均数，绘制酵母菌数据记录表，填写数据。

注：学生已使用过显微镜，教师需对其操作进行指导，尤其注重转换高倍镜后的使用;学生第一次接触血球计数板，教师应在学生初次使用时讲解计数要求，辨别计数室，学会计算方法;培养过程中提醒学生适时摇晃试管;小格中酵母菌数量过多难以数清时，学会稀释方法。

课上，小组成员对实验过程进行描述，并展示實验结果。

组织学生进行分组合作、交流讨论，学生根据实验数据，修正模型，对错误的模型进行纠正。

教师出示资料：科学家也进行过类似的实验，如高斯的大草履虫实验。经过大量实验，科学家发现，在有限的环境中，种群经过一定时间增长后，数量趋于稳定，这种曲线称为“S”型曲线。

设计意图：学生描述实验过程，锻炼归纳总结能力。锻炼学生胆量，检验学习效果，提高纠错意识，尝试理性分析问题。体验探究实验的全过程，体会模型修正过程，感受实验的严谨性。

4.4 学以致用，回顾问题

教师再次提出课前问题：凤眼莲的增长趋势符合哪种模型？学生能够轻松回答。教师解释：凤眼莲在原产地南美洲天敌众多，种群增长有限，但引入我国后，由于缺少天敌，气候适宜，生长在理想条件下，便无节制的生长，最终泛滥成灾。但是，关于大熊猫为什么是濒危动物并没有解决，这个问题涉及到“S”型曲线的生物学意义，下一课时再来重点讲解。

设计意图：前后结合，联系实际。经过学习能够回答课前的问题，并为第2课时讲解曲线的生物学意义、如何利用曲线图变化因素对种群进行保护或控制做铺垫，利于下一节课的开展。

5 教学反思

本节教学设计，以生活常见现象为引，以精心设计的问题串为导，驱动学生进行数学模型的建构。数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。将数学和生物联系起来，促使学生从生物问题找规律，建构数学模型，又将数学模型置于新情境中解决问题。锻炼了学生的逻辑推理，提升“理性思维”的生物核心素养。

同时，将教材中的“探究”引入课程的一部分，也强调了“科学探究”的精神。学生通过提出问题，作出假设，设计实验，实验操作，对数据分析处理，结合实验结果分析模型的过程，体验了科学方法的流程，更强化了小组合作学习的能力。但是，由于实验条件有限，无法严格控制无菌环境，学生对显微镜的操作并不成熟，计数过程难免产生误差。

通过本节课的学习，能够促使学生根据两种模型的形成条件，反思人类活动对种群数量的影响，强化“生命观念”和“社会责任”。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育生物课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]谭娟，霍静.数学模型在“种群数量的变化”一节中的应用.生物学通报[J]，2017，52（1）：42-44.

[3]邹帅，闫景娟.“种群数量的变化”教学设计.生物学通报[J]，2011，46（2）：29-31.