有限群的δ-置换子群

高建玲，毛月梅

山西大同大学 数学与统计学院，山西 大同 037009

本文所考虑的群皆为有限群．用G表示群，p表示素数，π(G)表示|G|的所有素因子组成的集合，|G|p表示G的Sylowp-子群的阶．对群系F，用ZF(G)表示G的所有F-超中心正规子群的积．用U表示全体超可解群组成的群系．所有未说明的符号与术语都是标准的，可参看文献[1-2].

有限群结构的确定是有限群研究的根本问题，这方面的研究已有许多结果，如文献[3-10]．运用置换子群的性质是研究有限群结构的一个重要手段．因此，置换子群的概念被很多学者多次推广．其中，文献[6]引入了子群的δ-置换性：令集合δ是G的Sylow子群的完全集，即对每个p∈π(G)，集合δ仅包含G的一个Sylowp-子群，若群G的子群H置换δ中的所有元素，则称子群H在G中δ-置换．并证明了：若F为包含全体超可解群U的饱和群系，下列两条等价：

1)G∈F；

文献[7]得出：若Gp的极大子群在G中δ-置换，其中Gp∈δ，p∈π(G)且p最小，那么G为p-幂零群．文献[8]得出：设p∈π(G)，P∈Sylp(G)且H为G的p′-Hall子群，使得G=P·H，令集合δ是H的Sylow子群的完全集，如果G满足下列两条：

1)NG(P)/CG(P)是p-群；

2)P的所有极大子群在H中δ-置换.

那么G为p-幂零群.

文献[9]从Gp以及Gp∩F*(G)的所有子群的δ-置换性两方面刻画了有限群的结构．另外，文献[10]针对次正规δ-置换子群的嵌入性进行了研究，并针对δ-置换性对有限群结构的影响进行了研究．本文将从子群的阶以及非Frattinip-主因子两方面讨论准素数子群的δ-置换性，进一步刻画有限群的结构，得到超可解群的新判别准则，并将以上结论推广.

1 记号及引理

δN={GpN：Gp∈δ}δN/N={GpN/N：Gp∈δ}δ∩N={Gp∩N：Gp∈δ}

定义1[6]假定H≤G，集合δ是G的Sylow子群的完全集，若H置换δ中的所有元素，则称H在G中δ-置换.

假设P是一个p-群．若P不是非交换2-群，记Ω(P)=ʊ1(P)，否则记Ω(P)=ʊ2(P).

引理3[12]假定F是一个可解饱和群系，P是G的正规p-子群，且C是P的Thompson临界子群[13]，若P/Φ(P)≤ZF(G/Φ(P))或Ω(C)≤ZF(G)，则P≤ZF(G).

引理4[12]假设C是非平凡p-子群P的Thompson临界子群，则

引理5[14]若群G的广义Fitting子群F*(G)是可解的，则F*(G)=F(G).

2 主要结果

定理1设P是G的正规p-子群，集合δ是G的Sylow子群的完全集．假定P有一个子群D，满足1<|D|<|P|，且P的每个阶是|D|的子群H在G中δ-置换．进一步，当P是非交换2-群且|P∶D|>2时，假定P的每个阶是2|D|并且方次数大于2的子群H也在G中δ-置换，则P≤ZU(G).

证假设结论不成立，令(G，P)是使得|G|+|P|为最小的反例．假定N是G的极小正规子群且包含于P．按以下步骤导出矛盾：

步骤1 若|N|<|D|，则N是G的包含于P的唯一的极小正规子群，满足P/N≤ZU(G/N)并且|N|>p.

设H/N是P/N的子群，满足|H/N|=|D|/|N|或|H/N|=2|D|/|N|(若P/N是非交换2-群，|P/N∶D/N|>2且exp(H/N)>2)，则H是P的子群，满足|H|=|D|或|H|=2|D|(若P是非交换2-群，|P∶D|>2且exp(H)>2)．由假设知，H在G中δ-置换．因此由引理1知H/N在G/N中δN/N-置换．由G的选取可知P/N≤ZU(G/N)．若|N|=p，则P≤ZU(G)，矛盾．所以|N|>p．假定R是G的包含于P且不同于N的极小正规子群．因为NR/N≤ZU(G/N)，又因NR/N是G/N的极小正规子群，故|R|=|NR/N|=p，这可推得|R|≤|N|<|D|．类似前面的讨论有P/R≤ZU(G/R)，因此有P≤ZU(G)，矛盾．所以N是G的包含于P的唯一的极小正规子群.

步骤2 |N|=|D|.

再由N的极小性易知N1=1或N1=N，而1<|D|<|N|，矛盾.

以下假设|N|<|D|．由步骤1知P/N≤ZU(G/N)．若N≤Φ(P)，则由引理2有

P/Φ(P)≤ZU(G/Φ(P))

再由引理3知P≤ZU(G)，矛盾．故N≤|Φ(P)．由步骤1可知Φ(P)=1．假设U是N在P中的补，N1是N的极大子群，满足：N1在G的某个Sylowp-子群Gp中正规．不失一般性，可设Gp∈δ．因为

|D|<|P|=p|U||N1|

故|U|≥|D|/|N1|．不妨取U的阶是|D|/|N1|的子群V．令T=N1V，则|T|=|N1V|=|D|，由假设知T在G中δ-置换，因此对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有TQ=QT．因为

故Q≤NG(N1)，显然Gp≤NG(N1)．假定q1，q2，…，qt是π(G)的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，则

从而|N|=p，与步骤1的结果矛盾．因此|N|=|D|.

步骤3 |D|=p.

步骤4 最后矛盾.

当P是非交换2-群时，由步骤3及定理假设知P的所有素数阶或者4阶循环子群在G中δ-置换．首先证明G有唯一的正规子群R满足：P/R是G的主因子，R≤ZU(G)并且|P/R|>p.

令P/R是G的主因子．显然，(G，R)满足定理假设．再由(G，P)的选择有R≤ZU(G)．若|P/R|=p，则P/R≤ZU(G/R)，因此P≤ZU(G)，矛盾．故|P/R|>p．假设P/L是G的主因子，且满足P/R≠P/L．类似前面的讨论有L≤ZU(G)．由引理2有

P/R=RL/R≤RZU(G)/R≤ZU(G/R)

在此情况下，可得出与上面相同的矛盾．因此G有唯一的正规子群R满足：P/R是G的主因子，R≤ZU(G)并且|P/R|>p.

假定C是P的一个Thompson临界子群．若Ω(C)

因P/R∩Z(Gp/R)>1，取

L/R≤P/R∩Z(Gp/R) |L/R|=p

定理3假设G是p-可解群，集合δ是G的Sylow子群的完全集，P∈Sylp(G)且P∈δ．若对G的任一非Frattinip-主因子H/K，都存在P的一个极大子群P1，使得P1在G中δ-置换，且H/K≤/P1K/K，则G是p-超可解群.

证假设结论不成立，令G为极小阶反例.

假设N是G的极小正规子群．下证G/N满足定理条件．设(H/N)/(K/N)是G/N的非Frattinip-主因子，则

H/K≅(H/N)/(K/N)≤/Φ((G/N)/(K/N))≅Φ(G/K)

且H/K是G的p-主因子．由假设知，存在P的一个极大子群P1在G中δ-置换且H/K≤/P1K/K．若N是p′-子群，则P1N/N是PN/N的极大子群．若N是p-子群且N≤/P1，则P=NP1．因为G的每个Sylowp-子群覆盖G的所有p-主因子，故H≤PK=P1K，与H/K≤/P1K/K矛盾．所以N≤P1，因此P1/N是P/N的极大子群．由引理1可知，P1N/N在G/N中δN/N-置换．显然有

(H/N)/(K/N)≤/(P1N/N)/(K/N)

由G的极小性可知，G/N是p-超可解群．若N≤Op′(G)，则G是p-超可解群，矛盾．故N是交换p-子群．易知N是G的非Frattinip-主因子，由假设得，存在P的一个极大子群P2在G中δ-置换且N≤/P2．所以P=NP2．由假设知，对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有P2Q=QP2．又因

故Q≤NG(N∩P2)，显然P≤NG(N∩P2)．假设q1，q2，…，qt是π(G)的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，可得

因此N∩P2=1或N≤P2，这两种情形都不可能.

因此，结论成立.