单级圆柱齿轮减速器的优化

冯柯茹

(达州职业技术学院，四川 达州 635000)

0 引言

齿轮减速器是原动机和工作机之间独立的闭式机械传动装置，能够降低转速和增大扭矩，是一种被广泛应用在工矿企业及运输、建筑等部门中的机械部件。圆柱齿轮减速器传统的设计方法是设计人员根据各种资料、文献提供的数据，结合自己的经验，对已有减速器进行类比，初步定出一个设计方案，然后对方案进行各类经验优化。但这种方法设计出的减速器往往并不是最优的设计方案[1]。因此，为了降低减速器的成本，优化设计圆柱齿轮减速器势在必行。

单级圆柱齿轮减速单元的初步设计优化是一个相当受关注的课题，因为许多高性能的动力传动应用需要高性能的齿轮减速单元[2]。单级圆柱齿轮减速器的优化设计有多个目标，如体积最小化、重量最小化、表面疲劳寿命最大化等，本文则对单级圆柱齿轮减速器的体积和重量进行优化设计。

1 单级圆柱齿轮减速器优化设计数学模型

本研究的单级圆柱齿轮减速器以体积最小为目标函数，各已知条件如下：输入功率p=58 kw，输入转速n1=1000 r/min，齿数比u=5，齿轮许用应力[δ]H=550 MPa，许用弯曲应力[δ]F=400 MPa。

1.1 设计变量的确定

在满足零件刚度和强度的条件情况下，减速器体积可以近似表示为齿轮和轴的体积和，即

(1)

以往设计总是通过尽可能的减小齿轮和齿轮轴的体积和中心距来势其体积最小，本研究将齿宽b、齿数z1、模数m、齿轮轴径dz1、dz2、支撑距离1作为设计变量。设计变量取为x=[x1x2x3x4x5x6]T=[bz1mldz1dz2]T。

1.2 目标函数的确定

目标函数是以设计变量来表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，用来评价设计方案的优劣程度。本文以齿轮与齿轮轴和来近似整个减速器的体积。因此，目标函数为它们的体积之和，即式(1)。

1.3 约束条件的确定

(1)首先为避免发生根切，z应该大于等于17，得g1(x)=17-x2≤0。

(2)齿宽系数取Φmin=0.9，Φmax=1.4，得g2(x)=0.9-x1/(x2x3)≤0，g2(x)=0.9-x1/(x2x3)≤0。

(3)动力传导的齿轮模数应该大于2 mm，得g4(x)=2-x3≤0。

(4)为了限制大齿轮的尺寸不至于过大，小齿轮的直径不能大于d1max，得g5(x)=x2x3-300≤0。

(5)齿轮轴直径范围要小于dzmin大于dzmax，得g6(x)=100-x5≤0，g7(x)=x5-1500≤0，g8(x)=130-x6≤0，g9(x)=x6-2000≤0。

(6)轴的支撑距离l应满足条件：l≥b+2△min+0.5dz2，得g10(x)=x1+0.5x6-x4-40≤0。

(7)齿轮的接触应力和弯曲应力不大于许用值，得

2 MATLAB优化求解

MATLAB优化工具箱含有一系列的优化算法函数，可方便、快捷地解决线性、非线性极小值，非线性系统的方程求解，曲线拟合，二次规划，大规模优化等工程实际问题[3]。机械优化设计多数是非线性约束最小化问题，早期常见方法是通过构造惩罚函数将有约束的最优化问题转化为无约束最优化问题后，再利用Powel(鲍威尔)法进行求解。而在MATLAB中，采用序列二次规划法(SQP法)进行优化[4]，算法可靠，不用编写大量的算法程序，提高了设计效率。

本文有6个设计变量，约束问题有16个，选用MATLAB优化工具箱中fmincon函数来处理。fmincon是用于求解非线性多元函数最小值的matlab函数，优化工具箱提供fmincon函数用于对有约束优化问题进行求解，尽可能地避免了繁重的计算过程。用fmincon函数实现求解约束优化问题[5]。

2.1 编写非线性约束函数的M文件

function[c，ceq]=myfun1(x)

c=[17-x(2)；0.9-x(1)/(x(2)*x(3))；

x(1)/(x(2)*x(3))-1.4；

2-x(3)；x(2)*x(3)-300；

100-x(5)；x(5)-150；

130-x(6)；

x(6)-200；

x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40；

1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550；

7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-400；

7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)^2))-400；

117.04*x(4)^4/(x(2)*x(3)*x(5)^4)-0.003*x(4)；

(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+2.4*10^12)-5.5；

(1/(x(6)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)-5.5]；

ceq=[]；

2.2 编写目标函数的M文件

给定变量的初值和相关参数，并调用fmincon函数求极值，即：

fun1=′0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)′；

x0=[230；21；8；420；120；160]；

[x，fval]=fmincon(fun1，x0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，@myfun1)。

2.3 优化分析结果

根据运行结果得出x=[x1x2x3x4x5x6]T=[178.8062 69.8994 2.8912 203.8042 150.0025 130]T。即b=178.8062，z1= 69.8994，m=2.8912，l=203.8042，dz1= 150.0025，dz2=130时，体积最小，为4.3236e+07。

3 结论

本文利用的MATLAB优化方法具有编程工作量少、语法符合工程设计要求等特点，以减速器齿轮的各项参数作为自变量，以体积最小为目标函数，在约束函数条件下对该减速器进行优化设计。