斜面上干摩擦阻尼振动的求解及其教学探讨

蓝 郁　夏立新　伍方舟

斜面上干摩擦阻尼振动的求解及其教学探讨

蓝 郁1夏立新2伍方舟2

（1.衡阳师范学院 物理与电子工程学院，湖南 衡阳 421002；2.喀什大学 物理与电气工程学院，新疆 喀什 844000）

本文从斜面上弹簧振子在干摩擦阻尼作用下的动力学问题出发，通过建模列方程，给出了振子初速为零和非零时的解。研究结果表明：其运动是振幅不断减小的阻尼振动。提出了相应的教学思考，对于教学研究有一定的参考价值。

斜面问题；干摩擦；阻尼振动；教学研究

在进行大学物理教学的过程中，笔者发现一些《大学物理》教材[1-3]中有一例题的解答不严谨，有点问题。该例题插图如图1所示。

一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的刚度系数为，斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长度拉伸后由静止释放，物块第一次静止在什么位置上？

图1　《大学物理》例题图

事实上，该例题中的物块可视为斜面上的弹簧振子，其运动属于振动范畴，所以题目中出现了“第一次静止”的字眼。由已知条件可知，物块在振动的过程中，将受到滑动摩擦力的作用，并非作简谐振动，而是作阻尼振动。两固体间由于相互接触而产生的摩擦力也称为干摩擦力。除了干摩擦力外，物块在运动中还会受到空气粘滞阻力的作用，粘滞阻力也称为湿摩擦力。粘滞阻力一般比较复杂，当物块的速度比较小时，可近似认为与速度成正比，各种物理学教材[4-6]一般是以这种情况为例子介绍阻尼振动的。实际上，干摩擦阻尼也是常见的情况，但是关于干摩擦阻尼振动的研究不多[7-9]，而且情况也相对复杂。本文将从这个例题出发，讨论斜面上的干摩擦阻尼振动，给出其解析解，然后再进行相关的教学探讨。

1　斜面上干摩擦阻尼振动的解析解

1.1 斜面上干摩擦阻尼振动的动力学方程

研究干摩擦对斜面上弹簧振子运动的影响，忽略湿摩擦的作用，物块受重力、斜面支持力、弹簧弹性力和摩擦力的作用。为定量描述物块的运动，建立正向沿斜面向下的坐标系，如图1所示，原点取在弹簧自然伸长处，则物块的动力学方程为

1.2 静平衡区间和动平衡位置

1.3 初速为零时动力学方程的解

式(4)是一个简单的常微分方程，其解为

解之可得

利用式(8)和坐标变换式(2)，得到式(1)的解为

将上述结果直观化，欠阻尼情况下的振动曲线如图2所示，其中：，，为简单起见，重力加速度取。在以下的讨论中，这几个参数不变。物块的初始位置为，滑动摩擦系数。图2中的水平细实线表示物块的平衡位置，而两水平细虚线之间的区域为静平衡区间。由图2可知：物块振动时受干摩擦阻尼的影响，振幅不断减小，最后在静平衡区间某个位置停下来，并不一定能回到平衡位置。

图3 临界阻尼和过阻尼振动曲线

图4 时的干摩擦阻尼振动曲线

1.4 任意初始条件下动力学方程的解

继续讨论式(1)在初速不为零的情况下的解。

物块离开平衡位置的极值位移分别为

物块离开平衡位置的位移极值分别为

图5 初速不为零时的干摩擦阻尼振动曲线

图6 滑动摩擦系数对初速不为零时的干摩擦阻尼振动的影响

显然，在同一初始条件下，随着滑动摩擦系数的增大，物块能完成振动的半周期数减少，甚至不能完成往复运动。初速不为零时，物块即使处于静平衡区间内，仍然运动到某一次速度变为零时的位置位于静平衡区间内才停止。

2　例题的三种可能情况及相应的一点教学思考

根据前面的讨论，图1给出的大学物理例题按照物块初始位置的不同，应有三种可能的结果。

至此，全面解答了图1给出的例题。一些《大学物理》教材[1-3]给出的解答虽然不周全，但对于大学物理的教学来说也不一定是坏事，甚至可以好好利用，据此引导学生深入思考问题，提高学生全面分析问题和解决问题的能力。

在教学的过程中，可以先让学生对振子进行受力分析，提示学生需要考虑静摩擦力，然后引导学生思考弹簧伸长量对摩擦力的影响。显然，当弹簧伸长量变化时，弹簧弹性力和重力在斜面方向上分力的合力就会不断变化，包括大小和方向，并引发由静摩擦力向滑动摩擦力的转变。通过适当的引导，学生就比较容易获得关于摩擦力的大小和方向(包括什么情况下由静摩擦力向滑动摩擦力的转变)的正确认识，进而得出上述讨论的三种情况，从而发现题目解答的漏洞。这就培养了学生全面分析问题和解决问题的能力，并能加强学生的全局观思维。最后趁机给学生介绍阻尼振动的知识，也可以拓宽学生的视野，提高学生学习大学物理的兴趣。

其实，各种《大学物理》教材都不是完美的，都有或多或少的缺点或问题。老师在发现这些问题的同时，可以思考如何正确利用这些问题来调动学生思考问题的积极性，而不仅仅是填鸭式地向学生灌输知识。当学生在老师的正确引导下开始自主思考问题的时候，就会想着去更深入认识和理解这些问题，尝试着运用所学的知识去解决这些问题，而当他们发现自己知识储备不足时也会想着去学习更多的知识，以期理解所遇到的问题。而在编写教材时，也不一定要把所有问题都讲述得一清二楚，应该给学生留下更多思考的空间。

3 结 语

本文求得了斜面上受干摩擦阻尼作用的弹簧振子在初速为零和初速不为零时的解析解。当振子初速为零时，若其初始位置位于静平衡区间内，则振子保持静止状态；若振子初始位置位于静平衡区间之外，则做振幅不断衰减的阻尼振动，最终在静平衡区间内某位置停下来。当振子初始速度不为零时，则其先朝着速度方向运动，直到第一次速度变为零，其后的运动情况则与由静止释放时的情况相同。给出了相应的一点教学思考，提出可以利用教材存在的各种缺点或问题引导学生自主思考问题，并提高学生全面分析问题和解决问题的能力。

[1]赵近芳,王登龙.大学物理：上[M].5版.北京:北京邮电大学出版社,2017.

[2]赵近芳,王登龙.大学物理简明教程[M].3版.北京:北京邮电大学出版社,2017.

[3]匡乐满.大学物理：第一册[M].北京:北京邮电大学出版社, 2008.

[4]赵凯华,罗蔚茵.力学[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

[5]漆安慎,杜婵英.力学[M].3版.北京:高等教育出版社,2012.

[6]马文蔚,周雨青,解希顺.物理学：下册[M].6版.北京:高等教育出版社,2014.

[7]王众臣,姜雪洁.阻尼振动的研究[J].青岛建筑工程学院学报,2000,21(2):90-94.

[8]卓士创,董慎行.弹簧振子在定常干摩擦阻尼作用下的振动[J].大学物理,2001,20(6):17-21,33.

[9]邵贵成.干摩擦阻尼振动的佯谬及其理论分析[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2010,33(3):321-324.

G420

A

1673-2219（2021）03-0094-05

2020-09-11

喀什大学教研教改课题重点资助项目（项目编号KJDZ1701）。

蓝郁（1979－），男，广东高州人，博士，副教授，研究方向为凝聚态理论。

夏立新（1966－），男，湖南益阳人，博士，教授，研究方向为量子光学。伍方舟（1989－），男，湖南长沙人，硕士，讲师，研究方向为物理教育。

（责任编校：宫彦军）