一类小世界网络的特征值研究

摘  要：研究了一类具有随机长连接强度的时滞小世界网络的特征值分布。首先给出小世界网络的结构和矩阵表示，分析了构成小世界网络的规则环形网络的连接强度矩阵的最大特征值、最小特征值和其他n-2个特征值的取值范围，讨论了小世界网络的长连接强度矩阵元素Xij的数学期望和方差，进而分析了小世界网络的长连接强度矩阵X的特征值分布，最后给出了小世界网络连接强度矩阵D的特征值分布。

关键词：小世界网络;随机长连接强度;时滞;特征值分布

中图分类号：O157.5      文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2021）05-0135-03

Study on the a Kind of Eigenvalues of Small World Network

ZHOU Jing

（Institute of Information Technology，Jilin Agricultural University，Changchun  130118，China）

Abstract：A kind of eigenvalue distribution of a small world network with time delay with random long connection strength is studied. Firstly，the structure and matrix representation of small world network are given. The maximum eigenvalue，the minimum eigenvalue and the value range of other n-2 eigenvalues of the connection strength matrix of regular ring network of small world network are analyzed. The mathematical expectation and variance of the element Xij of the long connection strength matrix of small world network is discussed，then the eigenvalue distribution of the long connection strength matrix X of small world network is analyzed. Finally，the eigenvalue distribution of the connection strength matrix D of small world network is given.

Keywords：small world network;random long connection strength;time delay;eigenvalue distribution

0  引  言

小世界网络是一类特殊的复杂网络，具有较高的集聚系数和较短的平均路径长度，它普遍存在于人类社会中，我们比较熟悉的人际关系网络、交通网络、大脑功能网络[1]以及最近两年对人们的生产生活产生着巨大影响的新冠病毒传播网络[2]等等，这些网络都有着明显的小世界特性。因此，关于小世界网络方面的研究，特别是小世界网络的建模、动力学性质以及控制等方面的研究得到了全世界专家和学者们的广泛关注，取得了许多有意义的研究成果，并在各个领域得到了广泛的应用。

小世界网络的结构复杂多样，因此在以往很多关于小世界网络的研究中，为方便讨论，通常假设网络的结构和节点间的连接方式是固定不变的，网络节点间的连接概率、连接强度及时滞等网络参数均为常数。然而，在实际的复杂网络系统中，系统的内部结构和外部的干扰对小世界网络的行为和性能有着非常重要的影响。特别地，对于小世界网络来说，长连接是小世界网络的重要标志，起着关键性的作用，因此，如果对长连接的连接方式和连接强度的研究更接近于现实世界中小世界网络的长连接的话，那将更有利于促进人们对复杂网络系统的认识，掌握它的发展方向和未知的应用。

在小世界网絡的相关研究中，关于网络动力学行为的研究更加受到研究者们的青睐，如稳定性问题、分岔问题、同步问题等等。一般地，为了定量的研究上述诸多问题，通常用微分方程或时滞微分方程来描述小世界网络，而特征值问题是研究微分方程动力学性质的关键问题，学者们在这方面也已经取得了大量的研究成果，如：罗佳伟等[3]应用特征值法给出了稳定性切换准则，研究了参数与时滞相关的延迟振子的稳定性;盛夏等[4]应用特征值法分析一个具有时滞的高维环状神经网络周期解的线性稳定性，给出了从平凡解分岔出周期解的局部存在性;YU等[5]应用特征值法讨论了一类具有兴奋性和抑制性长连接的时滞小世界网络的稳定性、不稳定性和分岔模式，给出了稳定性的一般条件和数值模拟的结果。但是目前对于具有随机连接强度的小世界网络模型特征值分布的研究却较少。本文研究了一类具有时滞和非线性因素的小世界网络，其网络节点间的长连接是随机的，连接强度也是具有某种分布的随机变量，在此基础上来研究小世界网络连接矩阵的特征值问题。

1  小世界网络模型

本文考虑一类具有时滞的小世界网络模型，其状态方程表示为：

，i=1，2，…，n                                                                      （1）

式中，xi（t）为第i个振子的位移，f（xi）为非线性函数，满足f（0）=0，而且f '（0）=1，τ>0为时滞，dij为网络节点间的连接强度，如果节点间不存在连接，则dij=0，如果节点间存在连接，则dij≠0，dij=dji，且连接以弹性力和阻尼力的形式存在。

小世界网络的结构示意图如图1所示，它是一类Newman-Watts小世界网络。图中每个黑色的圆圈代表一个节点，每条直线（包括实线和虚线）代表两个节点之间的一个连接。网络的具体构建方式如下：首先，建立一个含有n（n充分大）个节点的规则环形网络，每个节点都与其左右各2个节点相连，每个节点都不与自身相连。然后，在规则环形网络的基础上，随机的选取两个节点用直线连接，并设此长连接是一条激励的连接，图中使用“+”来表示，连接概率设为p（p?1），这里，我们假设节点i与节点j之间的长连接强度是服从某一概率分布的随机变量，不再是固定的常数，用Xij来表示。

2  小世界网络的矩阵表示和特征值分析

将状态方程（1）在零平衡点处线性化，可得：

，i=1，2，…，n

（2）

方程（2）整理成矩阵形式为：

（3）

方程（3）中的矩阵x=（x1，x2，…，xn）T表示小世界网络节点的状态矩阵，矩阵D=（dij）n×n则表示小世界网络的连接强度矩阵。根据研究需要，我们将连接强度矩阵表示为一个规则环形网络的连接强度矩阵V=（vij）n×n与小世界网络的长连接强度矩阵X=（Xij）n×n的和矩阵，由所建小世界网络模型的特点，可知矩阵D，V，X均为实对称矩阵。通常，小世界网络连接强度矩阵的特征值被称为网络的特征值，下面，我们通过分析实对称矩阵V与X的特征值分布来讨论小世界网络特征值的分布。

引理1[6]：如果矩阵A为n阶实对称矩阵，它的每行元素之和都是相等的，则矩阵A的全部特征值均是实数，且A的最大特征值等于它的每行元素相加的和，A的最小特征值可以表示为，其中，m和k分别为规则环形网络节点的度和连接强度。

本文中，我们设规则环形网络节点的度为4，节点间的连接强度为0.01，即当j∈[i-2，i+2]，（i，j=1，2，…，n）

时，vij=0.01，在i，j取其他值的情况下，vij=0，则根据引理1，可以给出规则环形网络的连接强度矩阵V的特征值分布。

结论1：设α1>α2>…>αn为规则环形网络连接强度V的n个特征值，则V的最大特征值为α1=4×0.01=0.04，最小特征值为 ，其他n-2个特征值介于最大和最小特征值之间。

一般的，对于真实的网络系统，网络的节点数目n较大，而长连接概率p较小，文献[7]针对这种网络进行了相应的讨论，可以将小世界网络的长连接强度矩阵X=（Xij）n×n近似的看作是一个完全随机的实对称矩阵，当j∈[i-2，i+2]，（i，j=1，2，…，n）时，Xij=0，在i，j取其他值的情况下，两节点之间以概率p进行连接，如果存在长连接（已假设是激励的长连接），则连接强度Xij=Wij=Wji为服从某种分布的随机变量，不再是固定的常数，否则Xij=0。我们设Wij的均值為μ>0，即E（Wij）=μ，方差为σ2，即Var（Wij）=σ2，也就是说随机变量Xij的概率分布为P（Xij=μ）=p，P（Xij=0）=1-p。已知，当i与j以概率p连接时，有Xij=Wij，根据随机变量期望的性质，，所以，随机变量的概率分布为 。需要注意的是，在长连接矩阵中，连接概率分布和连接强度分布是相互独立的，因此长连接矩阵X的所有元素都是相互独立的随机变量，由概率论相关方面的知识，可得连接强度Xij的期望为：

E（Xij）=pμ                               （4）

方差为：

（5）

结论2：当网络的节点数目n较大，而长连接概率p较小时，小世界网络的长连接强度Xij的期望为pμ，方差为p（σ2+μ2）-p2μ2，其中μ和σ2分别为节点间存在长连接时的连接强度的均值和方差。

引理2[8]：设A=（aij）n×n是实对称随机矩阵，即当i≥j时，元素aij都是相互独立的随机变量，且E（aii）= v，E（aij）=μ，Var（aij）=σ2。如果μ>0，设ε1>ε2>…>εn为矩阵A的n个特征值，则最大特征值ε1近似的服从正态分布，它的期望和方差分别为：

E（ε1）=（n-1）μ+v+σ2/μ，Var（ε1）=2σ2      （6）

其他n-1个特征值满足 的概率等于1。

根据引理2和式（4）～（5），我们可以给出小世界网络长连接强度矩阵X的特征值的分布，如结论3所述。

结论3：如果小世界网络的节点数目n充分大，且长连接概率p足够小，则长连接矩阵可以近似为一个完全随机矩阵。设β1>β2>…>βn为网络长连接强度X的特征值，则最大特征值β1近似的服从正态分布，它的期望和方差分别为：

E（β1）=（n-6）pμ+σ2/μ+μ，Var（β1）=2[p（σ2+μ2）-p2μ2]

（7）

其他n-1个特征值满足   的概率等于1。

引理3（矩阵扰动理论[9]）：设实对称矩阵A，B，C满足B=A+C，且矩阵A，B，C的特征值分别满足式（8）给出的不等式关系：

α1>…>αn;β1>…>βn;γ1>…>γn         （8）

则矩阵B的特征值满足式（9）给出的不等式：

ai+εn≤βi≤ai+ε1，i=1，2，…，n             （9）

根据结论3和引理3，我们可以给出小世界网络连接强度矩阵D的特征值的分布，如结论4所述。

结论4：设γ1>γ2>…>γn是小世界网络连接强度矩阵D的n个单特征值，则D的最大特征值满足不等式γ1≤ α1+β1，最小特征值满足式（10）：

（10）

其他n-2个特征值介于最大和最小特征值之间。

3  结  论

综上，本文研究了一类具有随机长连接强度的时滞小世界网络模型的特征值分布。首先我们给出了小世界网络的结构示意图，它是以规则环形网络为基础得到的一类Newman-Watts小世界网络。通过分析得到了规则环形网络的连接强度矩阵的特征值分布，讨论了当网络的节点间以概率p（p?1）进行长连接，且长连接强度为服从某一分布的随机变量时，小世界网络的长连接强度矩阵元素Xij的期望和方差，并给出了此时长连接强度矩阵X的特征值分布，最后给出小世界网络连接强度矩阵D的最大和最小特征值的取值范围和其他n-2个特征值分布。通过以上研究，有利于深入了解真实小世界网络的结构和性能，能够为今后继续探索小世界网络的动力学行为和性质奠定良好的基础。

参考文献：

[1] 王祖力，张艳.脑功能网络核心节点及网络稳定性研究 [J].中国计量学院学报，2014，25（4）：414-418.

[2] 陆君安，王沛.从复杂网络小世界、无标度、高聚类特性看新型冠状病毒肺炎 [EB/OL].（2020-02-06）.https：//www. 163.com/dy/article/F4O4UQHB0511D05M.html.

[3] 罗佳伟，徐旭.参数与时滞相关延迟振子的稳定性及Hopf分岔分析 [J].吉林大学学报（理学版），2018，56（6）：1337-1344.

[4] 盛夏，张丽，郑虹，等.具有时滞的高维网络系统的周期解 [J].吉林大学学报（理学版），2010，48（5）：728-732.

[5] YU D Y，XU X，ZHOU J，et al. Stability and instability of a neuron network with excitatory and inhibitory small-world connections [J].Neural Networks，2017，89：50-60.

[6] ZHOU J，XU X，YU D Y，et al. Stability，Instability and Bifurcation Modes of a Delayed Small World Network with Excitatory or Inhibitory Short-Cuts [J/OL].International Journal of Bifurcation and Chaos，2016，26（4）：[2021-01-06].https：//www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S021812741650070X.

[7] GRAY R M. Toeplitz and Circulant Matrices：A Review [J].Foundations and Trends? in Communications and Information Theory，2006，2（3）：155-239.

[8] F?REDI Z，KOML?S J. The eigenvalues of random symmetric matrices [J].Combinatorica，1981（1）：233-241.

[9] 孫继广.矩阵扰动分析：第2版 [M].北京：科学出版社，2001.

作者简介：周晶（1980—），女，汉族，吉林德惠人，讲师，博士，研究方向：复杂网络的动力学与控制。