基于优先级的M/M/S模型的病床安排建模分析

盛钰 康瑞琪

（西南财经大学，四川成都 611130）

0.引言

医院承担着维护公众健康的社会责任，人的生老病死各个方面被以医院为中心的医疗保健体系全方面地覆盖。因此，建立节约型医院不仅影响医院的生存和发展，还事关人民大众的根本利益，是具有现实意义的议题。

本文以“眼科病床合理安排”问题为切入点，构建病床安排合理度综合指标体系，通过连续时间马尔科夫链的M/M/S模型对病床安排进行优化，建立优先级模型，并通过蒙特卡洛模拟实验对优化后的模型进行仿真模拟，最后再观察病床安排合理度指标表现。

1.综合指标体系的建立

1.1 符号说明

本文相关符号说明见表1。

表1 符号说明

1.2 指标选取

为了对医院床位进行合理管理，提升医院总体管理水平，全面增进医院经济效益和患者服务满意度，我们决定引入综合指标评价体系“安排合理度”来衡量医院病床分配管理水平。基于层次分析法，首先从患者和医院两个角度进行切入，患者角度用“等待入院时间”“等待手术时间”这两个指标综合衡量患者服务满意度，医院角度用“病床周转次数”“病床使用率”“平均住院日”三个评价指标综合反映医院经济效益情况[1]，最后通过这五个指标构建评价体系公式。

床位周转次数=（入院人数+出院人数）/（2×总病床数）。

（其中，出、入院人数均为7月25日至8月25日的人数）。

病床使用率=平均病床工作日/期限内日历日数。

平均住院日数=出院者占用总床日数/同期出院人数。

1.3 评价体系的建立

关于第一层次的权重分析，由于医院能为病患提供医疗保障，故赋予医院更大的权重，患者和医院对“安排合理度”的成对比较矩阵如下：

在医院经济效益层面，病床使用率和平均病床工作日具有同等重要性，但仅反映出病床的一般负荷，而病床周转次数能够更全面地体现医院的工作效率，故平均住院日数、病床使用率、病床动态转次数对医院的成对比较矩阵如下：

病人等待时间包括病人等待入院时间和病人入院后等待手术时间，随着手术临近，病人时间的重要性也在增加。故病人等待入院时间、等待手术时间对患者的成对比较矩阵如下：

对MG、MH、MD分别求出其最大特征值及相应特征向量，并对特征向量分别进行归一化处理，结果如下：

ωG=(0.4,0.6)T，λG=2

ωH=(0.25,0.25,0.5)T，λH=3

ωD=(0.4,0.6)T，λD=2

因为λmax=n，故各成对比较矩阵满足一致阵，一致性检验通过。组合向量如下：

W=0.4ωH+0.6ωD

安排合理度公式为：

G=0.1ηB'+0.1TL'+0.2DB'+0.24Wq'+0.36Wo'

其中，ηB'、TL'、DB'、Wq'、Wo'为归一化后的指标。

通过查阅得到5个指标公认的标准值，然后把“安排合理度”G分为3个层级，层级A：G>0.8;层级B：0.8>G>0.5;层级C：G<0.5。

1.4 评价结果

本文原始数据是按非急症先到先得（FCFS），急症优先安排住院规则所得，通过统计可得评价指标如表2。

表2 评价指标体系

白内障术前准备时间，应为1d、2d，但实际单眼白内障患者入院后需等2.38d、双眼白内障需等3.63d，高于理论水平。且平均住院日也明显高于一般水平，对于患者而言，不仅手术时间被延误，还会承担更多的住院费用。经查阅资料，医院病床使用率最优值应该处于85%～93%，当前的病床使用率低于该数，说明存在床位闲置、未被充分利用的现象。将上述指标代入整体评价公式，算得G=0.63，故当前病床安排指标表现属于B档，有改进的空间。

2.优化模型的建立与求解

2.1 模型假设

（1）只有外伤属于急症，对外伤病人采用优先权服务（PR），有空床位时立即安排住。

（2）周一和周三医院只排白内障手术，此类病人在手术前需要平均准备时间为1d～2d。白内障双眼是周一做一只，周三再做一只，占比为60%。

（3）住院后大概2d～3d视网膜疾病和青光眼疾病即可接受手术。

（4）该眼科医院每天都可以进行手术。

2.2 模型解释

为了合理安排病房79张病床，我们考虑建立单队多服务台并联的有优先权的非抢占型排队模型[2]。其中病床是服务台，病人是排队者，排队系统允许无限排队，病人在医院系统逗留时间由三部分组成，包括安排住院、进行手术和手术后的观察服务。通过对患者到达规律进行观察，设置该系统有以下特征：

（1）输入过程：病人在各个时刻到达情况服从参数为λ的泊松分布。

（2）住院时间：各类病人的住院时间服从参数为μ的指数分布。

（3）服务窗口：S个床位在排队系统中代表S个窗口，窗口与窗口之间是并联服务的。

（4）优先级规则：视网膜疾病和青光眼因为优先级相同，被当作“其他疾病”统一处理；对同一种疾病的患者，我们采取FCFS原则。

（5）排队规则：由于当一个病人占有一个床位时，后来的病人是不可以抢占这个床位的，所以这又是一个非抢占的排队模型。

2.3 模型建立

我们以一周的时间为一个周期，对该周期内不同时间段的不同疾病赋予不同的优先级，充分体现了“轮流照顾”的原则，具体优先级的先后顺序安排如下[3]：

（1）周六周日：外伤—白内障（双）—白内障—其他。

（2）周一周二：外伤—白内障—其他—白内障（双）。

（3）周三周四周五：外伤—其他—白内障（双）—白内障。

为了进行蒙特卡洛仿真模拟验证上述模型的效率，我们首先需要计算外伤、白内障（双）、白内障、其他四种疾病在排队系统的平均到达率λ和平均服务率μ。

根据M/M/s模型相关原理，我们可以得相关指标如下，其中s是系统能提供的服务台个数（即病床数）：

当ρs<1时，即µ

由上述公式可知，患者的平均逗留时间Ws和平均等待时间Wq只与参数λ、μ、s有关，换言之，通过Ws、Wq、s我们也可以以计算得到参数λ、μ，具体计算结果如表3所示。

表3 平均到达速率和平均服务速率

由表3数据验证：ρs<1，符合M/M/S系统稳态要求。

3.蒙特卡罗模拟

3.1 算法建立

步骤一：根据泊松分布得到四种病人到达时间：单位时间内病人到达人数服从泊松分布，其到达时间间隔服从指数分布。

步骤二：确定当天的优先级顺序：对得到的四组数据按时间进行排号，先判断当下时间属于星期几，确定今天的优先级顺序。

步骤三：确定当天开始时的病床数目：判断今天这个日期在出院时间列表出现几次，今天床位数=昨天剩余床位数+今天这个时间在出院时间列表出现几次。

步骤四：对各类病人安排住院：如果今天及今天以前优先级高于该患者的人数小于空余床位数，安排入住。

步骤五：建立病人出院时间表：对刚住院的病人通过指数分布随机生成服务时间，确定离去时间，把这个离去时间加入出院时间列表。

步骤六：算出病人等待手术时间：通过对四类疾病手术后住院服务时间进行散点图分析，发现其大体服从正态分布，而且通过计算发现住院服务周期的方差δ2较小，因此可以固定不同疾病的术后服务时间来简化模型，由此可以计算出病人的等待手术时间。

3.2 模拟结果

根据蒙特卡洛模拟和病种住院优先级排序，我们得到计算结果如表4。

表4 优先权模型下的模拟结果

表2与表4对比可知，在建立优先权的排队模型下，患者的平均等待入院时间Wq=8.31，平均等待手术时间Wo=1.76，均显著降低，为病人节约了时间。同时平均住院日减低，病床的周转次数与使用率均得到提高，为医院提高了病床效率。将评价指标归一化处理后，病床“安排合理度”G=0.945，据表1，G>0.8，属于A类，体现了优先权的排队模型的优化效果。

4.结论

传统的医院排队模型将外伤视为急症优先安排入院，其他非急症病人采取FCFS原则安排入院，在这种模式下病床合理度综合指标G表现为B，这说明目前的医院排队系统在患者满意度和医院经济效益两方面都存在一定程度上的不足。而在多服务台并联的有优先权的非抢占型排队模型中，将一周时间分为三段，在每周一到周天的各天对不同病种的患者赋予不同的优先级，由此建立模型并计算相关指标，得出在新模型下的综合指标G等级为A，表现明显改善。由此可见，引入优先级能对病人的输入更合理地安排床位，提升患者满意度的同时增进医院经济效益，最终说明基于优先级的M/M/S模型在病床安排上具有较高应用价值。