隐函数存在性定理证明的思政教学探讨

邓明香 冯永平

（广州大学数学与信息科学学院 广东广州 510006）

一、引入

义务教育阶段一般所接触到的函数为初等函数，其表示式是自变量的某个确定或明显的解析表达式，或是通过图表定义的函数表达式，但在数学分析、高等数学课程中接触到的函数或在学习或实际问题中讨论的主要是另外一种形式的函数，其自变量和因变量之间的对应法则是通过一个方程式（或方程组）所确定，这样通过某一特定的方程（方程组）而没有明显解析式的函数称其为隐函数。单变量函数、多变量函数的隐函数在分析函数极限、微积分学、函数极值、函数最值、平面曲线的切线与法线、空间曲面的切平面与法线、各类微分方程解的存在唯一性等方面均有广泛的应用。在所有讨论问题中，通过某一特定方程能否确定一个唯一的隐函数是其应用的基石，各类分析类教材、教学参考书中对隐函数存在唯一性定理均有详细的表述与证明，参见[1-4]。但这些教材、教学参考书中的证明过程表述得不够系统，层次关系不够清晰，多数教师讲授本节内容时只能讲述证明的基本思路及数学思想，由于抽象、晦涩、过程复杂性大多数学生很难理解并完整写出其证明过程。如何通过通俗、类别的方法让同学们理解该定理的证明一直是数学分析、高等数学类课程教师探索与研究的课题。

高校思想政治工作关系高校培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人这个根本问题。要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。要把立德树人融入教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域[5]。2017年5月，“课程思政”被纳入中央《关于深化教育体制机制改革的意见》，从地方实践探索转化为国家战略部署[6]。2019年7月，“广东省教育厅关于强化课程思政建设一流课程的意见（粤教高【2019】7号）”为广东省高校课程思政建设拟定了指导性文件。青少年教育最重要的是教给他们正确的思想，引导他们走正路。思政课是落实立德树人根本任务的关键课程，思政课作用不可替代，思政课教师队伍责任重大[7]。鉴于培养新时代人才的重要性，从中央、教育部、各省教育厅到各级各类学校对在高等学校教学中进行课程思政教学，在专业课程教学中加入课程思政元素，都进行了相应的部署与要求，各级各类学校和专业也都进行了深入的探讨与研究，这也与国家新时代“立德树人”的高等学校人才培养目标高度吻合。经过多年的数学分析、高等数学教学与探索，结合专业课程思政教学资源，本文在隐函数存在唯一性定理证明中运用课程思政的观点探讨了引领式证明，希望对该定理的教学与实践有一定的指导与借鉴意义。

二、定理内容及思政证明探索

3.证明以上函数为连续的。

定理证明的关键在于“找区间”和“证明函数的存在性”，其中“找区间”“函数存在性”关键都在于“存在性”，通过某些方式将存在的对象找出来。科学发展中“发现问题”是最重要的，如何将已“存在的”对象发现、表示出来是每一个科技发展中最关键的一个环节。只有发现问题，才能进一步“分析问题”“解决问题”。

注2：这里包含了“执果索因”的数学研究方法，有以下三个数学思想：

（1）目标是要构造一个函数，但函数不一定有明显的解析式，只能利用函数的定义去证明函数的存在性；

（2）这里也包含了一种思想，“万变不离其宗”，不论如何设定，用概念、定义证明是最基本的方法；

（3）当研究对象有多个变化因素是，通常研究方法是“抓住主要因素，忽略次要因素”，这里将两个变化因素中其中一个固定，分析对象所具有的特点；

注3：转化的思想，化“未知为已知”“化复杂为简单”，利用连续函数的介值性定理将证明函数存在性问题转化为单变量函数是不是存在零点的问题，多维度、多角度思考问题，可能找到解决问题的突破口。当研究某问题遇到困难时，要有“求异思维”“变通思维”，初心是将复杂问题简单化，抽象问题具体化，一般问题特殊化[4，5]；

注4：存在性证明，存在性一般使用构造性证明，存在的不一定能够用明显的解析形式表示，存在的形式是多种多样的。本问题将函数存在性证明转化为连续函数的零点存在性问题，比起函数的存在性，证明零点存在性是相对容易、方法相对多的问题；在这步证明中用到了由点到面、由局部到整体的思想，由于是在一个任意点处的存在性证明，而得到了一个区域内的存在性证明。

图1 隐函数存在唯一性证明图示

注5：连续性的证明，由于该函数没有明显的解析式，用传统的连续性证明有比较大的困难，这是要回归本源，利用逆向思维及连续性的概念，给出连续性证明，仍然用到了由点到面的思想及“追本溯源”的思想；当没有明显解析式时，传统的方法都是失效的，没有直接的方法时，要利用变向思维、发散思维、异向思维解决问题，这也是常用的数学思想方法及解决复杂问题的思考模式。几何图形的辅助设计，可以直观看到相关的证明过程，由“抽象到具体”，借助几何直观在解决数学类问题时也是常用的一种技巧。

用同样的方法可以证明多元函数的隐函数存在唯一性定理，全微分存在定理[6-8]。

三、结束语

隐函数存在唯一性定理是数学分析、高等数学中一个非常重要的内容，在分析函数性质方面有广泛的应用。如何通过构造函数证明存在性有一定的技巧，熟能生巧，只有经过大量的训练、结束语问题类型及发现、归纳构造的模式，才能以不变应万变。在专业课程教学中隐性融入思政元素，既能让学生更快速、更通俗地学习新知识，又能在学习中通过“润物细无声”的方式受到社会主义核心价值观教育，树立正确的“人生观、世界观、发展观”三观教育。在数学课程教学中，思政元素一般是通过传扬优秀数学文化、歌颂优秀数学家经典故事、讲述研究对象中包含的数学思想方法和科学方法论等这些形式展开。但如何隐性融入，如何找到恰当的“数学思政元素”，如何传扬中国优秀数学文化，还需要经过大量的探索与实践，这些探索一方面与所讲授的课程内容也有直接的关系，这是根本，也是教育之本；另一方面与思政教育素材的准备、隐形嵌入也有关系，这是教育的方式与方法。在本定理证明过程中包涵了许多丰富的数学思想方法，诸如逆向思维、异向思维、发散思维、局部与整体、执果索因等多种数学思维方法与科学方法论。本定理证明中的课程思政教学模式，可以推广到大多数难度较大定理的证明及综合性计算的数学问题。