基于小波分析的手足口病时间序列预测*

余功超 冯慧芬 封 爽 赵 敬 徐 晶

【提 要】 目的 构建基于小波分析的自回归移动平均(ARIMA)模型预测手足口病流行，提高预测精度。方法 使用2010-2015年郑州市疾控中心手足口病监测数据，构建基于小波分析的ARIMA模型进行预测，用2016年数据进行验证，并与单纯的ARIMA模型进行比较。结果 构建的基于小波分解一层的ARIMA模型为ARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，矫正后的AIC=2747.82，残差序列的ACF、PACF图示残差序列无自相关，Box-Ljung test统计量为0.9177，P=0.34，认为该残差为白噪声序列，模型拟合良好。预测2016年发病趋势与实际较为相符，均方根误差RMSE(root mean square error)、平均绝对误差MAE(mean absolute error)、平均绝对百分比误差MAPE(mean absolute percentage error )，分别为49.42、26.45、15.75(训练集拟合)和275.84、219.90、72.95(验证集预测)，除了验证集MAPE外，均小于单一的ARIMA模型。结论 基于小波分析的ARIMA模型可用于手足口病时间序列预测，拟合和预测性能较单一的ARIMA模型好。

手足口病是一种由多种肠道病毒引起的传染病[1]，好发于5岁以下儿童，是儿童主要感染性疾病之一。EV71和CA16是引起手足口病主要的病原，2015年EV71疫苗问世，有报道称近年来EV71和CA16感染病例数有所下降，但其他肠道病毒感染病例数上升[2-3]，其发病率仍居高不下[4-5]，给社会造成了很大的医疗和经济负担。手足口病无特殊治疗方法，主要是对症治疗和防治并发症[6]。因此，明晰手足口病流行周期及模式，更精准地预测其流行，对卫生行政部门制定预防控制策略、降低其发病率、减轻疾病负担具有重要意义。

自回归移动平均模型(ARIMA模型)是最常用的手足口病时间序列预测模型，适用于稳定性时间序列，但现实世界的时间序列往往是非稳定性的[7]，特别是流行病学时间序列[8]。虽然可通过各种变换和差分将之变成稳定性时间序列，进而达到应用ARIMA模型的条件，但这种单一函数变换能力有限，需要技巧，仍然可能损失了一些有用的非线性信息[9]。小波分析是一种有效的适用于非稳定性时间序列的时频分析方法[8]。一些学者将小波分析和ARIMA模型结合起来进行预测，研究结果表明结合了小波分析的ARIMA模型预测精度要比单一的ARIMA模型高。这种方法已经应用到建筑物沉降预报[10]，也有应用到传染病时间序列预测[9，11]。

基于此，本研究使用郑州市疾控中心监测数据，构建基于小波分析的ARIMA模型进行预测，以期提高手足口病时间序列预测精度，为手足口病防控提供参考。

资料与方法

1.数据来源

2010年至2016年郑州市手足口病发病例数资料来自郑州市疾控中心。将数据分为两部分，2010年至2015年数据作为训练集，用来建模；2016年数据作为验证集，用来检验模型预测性能。

2.ARIMA模型构建

自回归移动平均模型如果包含季节性则记为SARIMA(p，d，q)(P，D，Q)n，其中p，q为非季节性模型的自回归及移动平均参数，d为普通差分的阶数；P，Q为季节性模型的自回归及移动平均参数，D为季节差分的阶数，n为周期长度。建模步骤：(1)画出时间序列图，观察趋势变化，是否为平稳性序列，是否有季节性周期性趋势；(2)对非平稳性时间序列进行普通差分和季节性差分，将其变为稳定性时间序列，根据自相关系数、偏自相关系数及augmented Dickey-Fuller test结果(检验水准α=0.05)判断差分后的时间序列是否为稳定性序列；(3)主要根据自相关系数和偏自相关系数，结合经验不断尝试确定模型的自回归、移动平均参数。本研究使用R软件“forecast”包中的自动建模功能(“auto.arima”)，可自动尝试不同的自回归、移动平均参数值来拟合模型，并选择矫正的AIC(akaike′ information criterion)值最小的模型作为最优模型(更多自动建模规则详见Rob J Hyndman和George Athanasopoulos所著的《Forecasting：Principles and Practice》在线图书，http：//otexts.com/fpp2/)；(4)作出模型残差的自相关系数ACF图、偏自相关系数PACF图，判断残差是否具有自相关。使用Box-Ljung test 检验残差是否为白噪声序列，检验水准α=0.05。若拟合效果好，模型提取信息充分，则残差应为白噪声序列，无自相关，即该模型可用于预测。建模过程在R 3.6.3软件中完成。

3.基于小波分析的ARIMA模型构建

本研究使用离散小波分解，选择的小波为Daubechies小波。设原始序列为X，利用Daubechies小波经j层离散小波分解将原始序列分解为近似成分(approximation component)和细节成分(detail components)，使用小波重构得到近似成分序列cA和细节成分序列cDj。则有

X=cA+cD1+cD2+…+cDj

其中近似成分序列是低频的，与原始序列的轮廓较为一致，但比之平滑，细节成分序列是高频的，通常是含有噪声的细小的波动。我们分别用小波对原始序列进行一层和两层分解，使用MATLAB 软件(Version R2014a)完成。用重构的近似成分序列参照SARIMA模型构建时最优模型参数来构建SARIMA模型。

4.模型评价标准

采用均方根误差RMSE(root mean square error)、平均绝对误差MAE(mean absolute error)、平均绝对百分比误差MAPE(mean absolute percentage error )来评估模型拟合及预测性能。指标的计算公式如下：

结 果

1.手足口病周发病例数时间序列图

从图1中可以看出手足口病周发病例数时间序列不平稳，呈现比较明显的季节性周期性特征，周期为1年(52周)，每年5月至7月达到高峰，部分年份还有冬季的小高峰。

图1 2010-2016年郑州市手足口病周发病例数的时间序列图

2.SARIMA模型

对2010-2015年郑州市手足口病发病例数时间序列进行一阶季节性差分(周期长度为52周)和一阶差分后，其ACF图和PACF图示，序列已变为平稳性序列(图2)。ADF单位根检验结果：Dickey-Fuller=-6.9746，P=0.01，认为差分后的序列为稳定性序列。使用自动建模功能，我们得到最优模型为SARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，矫正AIC值(AICc)=2967.27。残差序列的ACF、PACF图示残差无自相关(图3)，Box-Ljung 检验统计量为0.0025，P=0.96，认为该残差为白噪声序列，该模型拟合良好，可以用于预测。

图2 一阶季节性差分和普通差分后序列的ACF、PACF图

图3 SARIMA模型残差序列ACF、PACF图

3.基于小波分析的SARIMA模型

用小波分析对2010-2015年郑州市手足口病发病例数时间序列进行一层分解后，构建的SARIMA模型为SARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，AICc=2747.82，残差序列的ACF、PACF图示残差序列无自相关(图4)，Box-Ljung检验统计量为0.9177，P=0.34，认为该残差序列为白噪声序列。用小波分析对原序列进行两层分解后，构建的SARIMA模型为SARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，AICc=2726.37，残差序列的ACF、PACF图示残差序列无自相关(图5)，Box-Ljung test 统计量为3.5971，P=0.06，认为该残差序列为白噪声序列。两模型均拟合良好，可以用于预测。

图4 基于小波的SARIMA模型(分解一层)残差序列ACF、PACF图

图5 基于小波的SARIMA模型(分解两层)残差序列ACF、PACF图

6.模型比较

SARIMA模型、基于小波分解一层或两层的SARIMA模型的拟合和预测图见图6，各模型拟合和预测与实际都较为相符。三种模型的拟合与预测性能指标见表1，无论是拟合还是预测，基于小波分析的SARIMA模型(分解一层)的各项指标均小于小波分解两层的模型和单一的SARIMA模型(除了验证集预测的MAPE)，为最优模型。

图6 三种模型拟合与预测图

表1 三种模型的拟合与预测性能指标

讨 论

本研究引入小波分析，构建基于小波分析的SARIMA模型，利用小波对原始序列进行分解，将可能包含噪声的细节成分去除，只使用近似成分序列进行建模，发现这种基于小波的SARIMA模型的拟合和预测性能不错，指标值总体上比单一的SARIMA模型降低，其性能较单一的SARIMA模型好。由于小波分解层数过多会损失可能有用的信息，所以本研究只进行了一层和两层分解。结果表明，只分解一层效果较好，提示分解一层后产生的细节成分大多包含的是随机噪声项。

以往手足口病时间序列预测研究多采用SARIMA模型[12-13]，其简单实用，是一种相对比较成熟的线性时间序列预测模型。但其拟合非稳定性时间序列的能力是有限的[14]。小波分析是一种研究非稳定性时间序列的强有力的工具[15]。小波分解可以将原始序列分解为高频成分和低频成分，不同成分进行不同处理[16]。通过这种方法，简化时间序列，提高预测精度。本研究结果表明基于小波分析的SARIMA模型适合用于手足口病时间序列预测，可提高预测精度，有助于降低发病率、减轻疾病负担。

虽然研究结果表明基于小波分析的SARIMA模型优于单一的SARIMA模型，但手足口病影响因素比较复杂，不同地区不同时间流行模式可能不同，是否这种结合了小波的SARIMA模型能够稳定有效地提高手足口病预测精度尚待后续更多研究。此外，不同小波性质不同，我们仅仅选取了Daubechies小波进行分解，未尝试其他小波；细节成分中或有可能包含有用的信息成分，本研究仅仅将之舍弃不用，未尝试其他处理方法，今后研究可对其他小波和细节成分处理方式进行更多的探索。