具有时滞和免疫反应的离散HIV感染模型的稳定性分析

雷学红，许云霞

(凯里学院 理学院，贵州 凯里 556011)

艾滋病(acquired immuno deficiency syndrome，AIDS) 是由人类免疫缺陷病毒(human immunodeficiency virus，HIV) 导致的，是一种严重地危害人类健康的传染病.因此，有关HIV的防控工作对艾滋病的控制有重大意义.目前，通过数学模型来研究HIV感染的动力学行为已成为一个热点问题.自Chandra在文献[1]中提出经典模型以来，后人在此基础上提出了不同类型的HIV模型.Bruno等[2-3]提出双线性发生率的模型.Sun等[4-6]提出具有非线性发生率的模型.由于病毒在体内具有一定的潜伏期，众多学者提出与事实更符合的时滞的HIV模型[7-9]，其中包括具有潜伏期，及细胞毒性T淋巴细胞(cytotoxic lymphocyte，CTL)免疫反应的模型[10].

鉴于以上HIV病毒模型，许多学者建立的模型基本上是连续模型，运用微分方程来研究其动力学行为.然而传染病的统计数据通常是在一定的时间间隔下取到的，数量变化显然是离散的.近年来建立的模型大多是非线性连续传染病模型，无法得到精确的解析解，为了克服这一不足和实际问题中离散型的变量，人们自然想到建立离散模型，而且离散模型比连续模型能更好地描述真实现象[11-12].为了确保在离散过程中保持原连续模型的性质，Mickens在文献[11]中提出非标准差分法(nonstandard finite difference scheme，NSFD)，文献[12-13]进一步完善此方法理论体系.

本文采用NSFD方法，利用文献[10]中HIV连续模型得到离散得HIV模型，对其解的正性、有界性及平衡点等性质进行研究.通过构建合适的Lyapunov函数和利用LaSalle′s不变性原理[6,9-10]，讨论所给模型的解在无感染平衡点、无CTL平衡点和CTL平衡点的全局稳定性.研究表明，离散模型和原连续模型的解有一致的特性，并进行数值模拟验证所得结论.

1 HIV模型及离散化模型

应用NSFD法将文献[10]中的连续模型转化为相应的离散模型，并对其动态行为进行研究.

文献[10]中的HIV模型为：

(1)

其中，x(t),y(t),v(t)及z(t)分别表示为t时刻未被感染的CD4+细胞，感染的CD4+细胞，具有感染性的HIV病毒和CTL免疫应答的浓度.λ为未感染细胞的生成速率；μ,a,q,ε分别表示其阶段的死亡速率；e-mτ1表示感染细胞存活时间τ1的概率；k为CTL免疫细胞消灭感染细胞的速率；pe-nτ2y(t-τ2)表示感染性的HIV病毒产生的速率；e-nτ2表示感染性的HIV病毒中存活时间τ2的概率；φ表示CTL免疫细胞的新生速率；τ1,τ2表示时间滞后.根据生物学意义，常数λ,μ,a,p,q,k,φ均为正数，g(x,v)v表示非线性感染率.假设g(x,v)v满足以下条件：

(A1)g(x,v)≥0,当且仅当x=0时，g(x,v)=0；

使用NSFD方法对模型(1)离散化，得到如下的离散模型：

(2)

其中，h>0为时间步长，(xn,yn,vn,zn)是系统在离散时间点tn=nh,n∈N={0,1,2,…}的近似解，存在整数mi∈N(i=1,2),τi=hmi.

2 解的有界性及平衡点的存在性

系统(2)满足初始条件：

定义集合:

Γ={(x,y,v,z):0

定理1假设满足条件(A1)～(A4)，离散系统(2)满足初始条件的任意解(xn,yn,vn,zn)都是非负的且有界.

e-mτ1h[λ-μxn-m1+1-g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1]+h[e-mτ1g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1-ayn+1-kyn+1zn+1]+

he-mτ1λ-κhLn+1,

当R0>1时，存在两个持久感染平衡点，下面分两种情况讨论.

由条件(A2)、(A3)可知，关于x单调递增，又因为:

故必有一个点x*∈(0,λ/μ)，即存在一个无CTL平衡点Q*=(x*,y*,v*,0).

由生物意义可知z>0，即:

由条件(A2)、(A3)可知，M(x)关于x单调递增，又因为:

M(0)=-λ<0,

另外，由(A2)，(A3)可知:

即R1

3 全局稳定性分析

本节主要研究模型(2)在无感染平衡点、无CTL平衡点及CTL平衡点的全局稳定性.首先令h(t)=t-1-lnt,对任意的t>0时，有h(t)≥0，当且仅当t=1时，h(t)=0，即:

lnt≤t-1.

(3)

定理2若R0≤1，系统(2)在无感染平衡点Q0是全局渐近稳定的.

证明定义函数:

(4)

由文献[14]可知:

(5)

令ΔWn=Wn+1-Wn,将式(5)带入式(4)，得:

g(xn+1,vn)vn-g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1+aemτ1(yn+1-yn-m2+1)=

g(xn+1,vn)vn-g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1+aemτ1(yn+1-yn-m2+1).

(6)

在Q0处有λ=μx0,将其代入式(6)可得:

由条件(A2)知g(x,v)关于x是单调递增的，有:

由条件(A3)知g(x,v)关于v是单调递减的，又由条件(A4)知g(x,v)v关于v是单调递增的，于是:

定理3若R1<1

证明定义Lyapunov函数:

令ΔVn=Vn+1-Vn，联立式(3)和式(5)可得:

(7)

系统(2)在Q*处满足:

(8)

将式(8)代入式(7)有:

其中:

由条件(A3)知，g(x,v)关于变量v是单调递减的，又由条件(A4)知，g(x,v)v关于变量v是单调递增的.故:

(g(xn+1,vn)vn+1-g(xn+1,v*)v*)(g(xn+1,v*)-g(xn+1,vn))≤0.

(9)

另外，

(10)

证明定义函数:

令ΔUn=Un+1-Un，联立式(3)、式(5)，则有:

由式(9)可知:

4 数值模拟

通过图1可以看出，x(t)最终在70处趋于平衡，而y(t),v(t),z(t)趋于(0,0,0)，图像验证定理2的结论，当R0≤1时，系统(2)在无感染平衡点Q0(70,0,0,0)是全局渐近稳定的.

改变τ1=4;τ2=5;k=15;q=5;p=20;q=3;φ=0.15;ε=0.8.其它数据不变.此时R1=0.430 9<1

从图2中可以看出，x(t),y(t),v(t)随时间趋于某个平衡位置，而z(t)趋于0处.图像验证定理3的结论，若R1<1

5 结论

本文主要利用非标准有限差分方法来研究时滞的离散HIV模型.对离散模型的动力学行为进行分析.研究表明，该HIV病毒模型不仅存在一个病毒感染的基本再生数R0，而且还存在CTL基本再生数R1.通过构造合适的Lyapunov函数和利用LaSalle′s不变性原理证明，当R0≤1时，模型在无感染平衡点处是全局渐近稳定的，即HIV在体内最终灭绝；当R0>1时，模型存在两个平衡点，即无CTL平衡点和CTL平衡点.当R1<11时，模型在CTL平衡点处是全局渐近稳定的.即HIV在体内持续存在状态，最终达到一个平衡状态.最终表明，离散模型与连续模型的解有一致的有界性、正性及稳定性等特征.最后，通过MATLAB数据拟合，从而验证了理论结果.