含参数的一元二次不等式解法探讨

■胡 磊

解含参数的一元二次不等式一直是高中数学的一个难点。同学们在解这类问题时,要么“会而不对”,要么“对而不全”。那么如何能够“接地气”地突破这个难点? 现以一些基本例题进行分析、探讨,归纳出含参数的一元二次不等式的解题技巧。

一、直接因式分解

例1解关于x的不等式x2-(3m+1)x+m(2m+1)<0。

解:x2-(3m+1)x+m(2m+1)=(x-m)(x-2m-1)<0。

当m>2m+1,即m<-1时,解集为(2m+1,m);

当m<2m+1,即m>-1时,解集为(m,2m+1);

当m=2m+1,即m=-1时,此不等式无解。

评析:分类讨论的缘由就是“不确定”。在无法回避“不确定”的条件下,分类讨论也就成为必然之选。

二、不能因式分解

例2解关于x的不等式(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R)。

解:由(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R),可对m进行分类讨论求解。

当m>3 时,方程(m+1)x2-4x+1=0 无 解,即 原不等式的解集∅;

当m=3 时,原不等式为4x2-4x+1≤0,可得原不等式的解集为。

评析:解答这类问题,如果“Δ”恒为非负,或者恒为非正,则直接根据图像写出解集;如果“Δ”的符号不确定,则需要分类讨论求解集。

三、不等式类型不确定

例3已知关于x的不等式ax2-x+1-a≤0,当a∈R 时,解关于x的不等式。

解:不等式ax2-x+1-a≤0 可化为(x-1)(ax+a-1)≤0。下面对a分类讨论求解。

当a=0 时,不等式化为x-1≥0,可得解集为{x|x≥1};

评析:当二次项系数不确定时,要对其进行讨论。要注意“Δ”的取值符号以及对根的大小的讨论。