教育数学观下的余弦定理教学设计

2021-10-08秦瑾吴静刘家琪

数学学习与研究 2021年25期

秦瑾吴静刘家琪

【摘要】传统的余弦定理教学中，几何法、向量法、解析法的推导教学屡见不鲜，且对学生的知识广度要求较高.而张景中院士提倡要优化数学课程结构、重建三角体系，使知识更加适宜教与学.在教育数学思想的指导下，通过正余弦的转化设问，构建等式，将三角部分的知识一线串通，形成一种新颖的相对独立、不依赖旧知识、不需要技巧性的余弦定理教学新方式.

【关键词】余弦定理;教育数学;新方式

【基金项目】扬州大学大学生科创基金项目，本项目得到“江苏高校品牌专业建设工程资助项目（数学与应用数学，PPZY2015B109）”经费资助.

数学教学的改进有时是方法的改良，有的是内容的改造.张景中院士提倡优化数学课程结构，重建三角体系就是一个开创性的成果.

一、余弦定理傳统教学简介

余弦定理是高中数学的重要内容，除了求解三角形问题的重要功能之外，还藏有丰富的奥秘[1]，余弦定理被安排在高中教材必修5第一章“解三角形”的第二节部分，正弦定理之后.

余弦定理的教学多是复习引入、生活情境引入，希望从新问题出发，引发学生对余弦定理的思考探究，再从新的角度采用不同的证明方法对余弦定理加以证实，一定程度上建立了知识间的联系.比如，王志国视余弦定理为主干知识节点，开展微专题“余弦定理”的教学设计[2];昌明从勾股定理出发，以猜想发现为先导进行余弦定理课堂教学设计[3];龚有顺则基于知识、认知和教学“三序合一”理论进行余弦定理的教学设计[4].

余弦定理的证明，有通过向量的加减运算得到所要求的边的向量表示，然后运用求向量的模长的方法来进行探究的向量法;运用到三角形内角和为180°和正弦定理asin A=bsin B=csin C来探究的几何法;对三角形建立直角坐标系，通过两点间距离公式来探究的解析法[5].

无论是课题引入还是定理证明，余弦定理的教学，前提是学生必须对向量、坐标系等知识掌握牢固并能灵活运用，或需要化归为正弦函数解决，必须熟练掌握三角恒等变换.因此，传统的余弦定理教学对学生知识广度的要求较高，同时从新角度引入余弦定理的证明也需要一些技巧性，需要学生对新问题的解决思路有足够的洞察力.

二、重建三角体系下余弦定理的知识解读

张景中院士的重建三角体系，称余弦定义为余角的正弦，并根据正弦的性质推导出了余弦的相关性质[6].在新教学体系中，余弦定理安排在九年级上册，位于正弦体系和余弦的定义与性质之后，可以看出整个余弦部分内容的教学都是建立在正弦教学基础之上的.

本文所提供的引入和证明方法直接从前面所学的正余弦内容出发，类比正弦的教学发展过程引出，得到相类似的等式，再通过等式的运算变化得到结论.此方法不同于传统证明方法，不需要运用其他章节的向量、坐标系等有一定难度的知识点，而直接在所学过的正弦体系和余弦定义性质的基础上展开，对学生知识掌握的起点要求低，同时能够将三角部分的知识一线贯穿，思维更加流畅自然，更易于教与学，并且能够很好地锻炼学生知识迁移、举一反三、细致观察的能力.

这里虽然探讨的余弦定理的推导，也在一定程度上依赖于对正弦定理推导的理解，但为我们找到了一种相对独立、不依赖有一定理解难度的旧知识、不需要技巧性的教学新方式.

三、教育数学观下余弦定理的教学设计

本文对于余弦定理的证明推导，从正弦定理的表现形式出发，通过将表达式的正弦替换成余弦设问，进而对等式进行相应的变化，最终得到余弦定理的表达式;然后再通过一些小问题来研究余弦定理的一些推论;最后以课堂小结的方式来帮助学生加强对本节课知识点的掌握.

【教学目标】

1.理解余弦定理的推导过程，并能借助余弦定理了解相关推论.

2.经历正余弦的转化设问、变换等式推得余弦定理的过程，发展观察、分析、解决问题的能力和逻辑推理能力，体会分类讨论和转化的思想.

3.在定理的推导过程中，感受三角、几何、方程的相关性，体会数学的环环相扣以及数学学习的趣味性.

【教学重难点】

教学重点：余弦定理的推导、余弦定理的推论.

教学难点：余弦定理的推导.

【教学过程设计】

1.复习引入