学会欣赏高考试题，引领课堂教学方向

陶磊

2021年是新高考“3+3”模式、“3+1+2”模式在全国大范围实践的第一年. 新高考模式下的高考数学试题将数学素养的考查融入平淡无奇的背景之中，不仅充分体现了命题人的命题智慧，也为广大的一线教师研究数学教学提供了宝贵的材料，为今后的课堂数学教学指明了方向. 本文是笔者研读高考试题的一些心得体会.

一、重视基本概念，从课本中汲取营养

例1. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的隨机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ）

A. 甲与丙相互独立

B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立

D. 丙与丁相互独立

赏析：这道试题背景在课本中屡见不鲜，学生非常熟悉. 许多考生出考场后非常开心，都认为第8题很简单，答案就是A. 因为事件甲和事件丙之间是否发生相互不受影响. 其实，这道试题的考点非常明确，就是考查事件的相互独立性.

设A，B为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立. 显然，要正确解答这道试题，首先是要计算出甲、乙、丙、丁等相关事件的概率，然后再根据事件的相互独立性的定义做出判断. 因此，相关事件概率的计算才是本道试题考查的核心. 这么多个概率值，如何能迅速、准确地计算出来？其实，课本上早已经给出了最有效的计算方法——列表法. 如下表所示，竖列数字表示第一次取出的球的数字，横排数字表示第二次取出的球的数字，以坐标的形式表示随机两次取出的球的数字的所有情况. 从表中，我们可以很轻松地计算出甲、乙、丙、丁四个事件的概率分别是、、、. 由事件的相互独立性的定义P（AB）=P（A）P（B）来判断，只有答案B是正确的.

二、掌握基本方法，根据问题融会贯通

例2. 已知数列{an}满足a1=1，

an+1=an+1，n为奇数

an+2，n为偶数 .

（1）记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式;

（2）求{an}的前20项和.

赏析：本试题是利用分段函数的形式来给出数列{an}的递推式，许多学生直接计算求出答案，这种解题方式缺少了“数学味”. 其实，我们将题目转换成另一种表达方式就很容易看清题意.

当n为奇数时，记n=2k-1（k∈N+），则a2k=a2k-1+1. 当n为偶数时，记n=2k（k∈N+），则a2k+1=a2k+2. 由此，我们就很容易得出：a2k+1=a2k-1+3、a2k+2=a2k+3. 这也就是说：在数列{an}中，a1，a3，a5，…构成一个以1为首项、3为公差的等差数列;a2，a4，a6，…，an构成一个以2为首项、3为公差的等差数列. 看清了问题的本质，解答问题就等心应手了.

例3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-，0），F2（，0）点M满足MF1-MF2=2. 记M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

赏析：第（1）问是考查双曲线的定义.根据双曲线的定义，很容易求出轨迹C为双曲线的右半支，其方程为x2-=1（x≥1）.

第（2）问是本道试题考查的重点和难点. 首先是如何利用数学表达式来表示TA·TB=TP·TQ;其次，就是计算问题. 弦长公式是高中学生最熟悉的公式之一，如弦长AB==. 其实，弦长公式就是由平面上两点间的距离公式经推导变形而来的. 也就是说，TA·TB=TP·TQ也可以使用弦长公式来进行转换运算.

如设点T（，n），直线AB的方程为：y-n=k1（x-），联立y-n=k1（x-

），

x2

-=1，得（16-k12）x2+（k12-2k1n）x-k12-n2+k1n-16=0. 由韦达定理可以得到xA+xB=，xAxB=. 由于交点A、B均在直线x=的右侧，所以TA=（xA-）、TB=（xB-），故TA·TB=（1+k12）（xA-）（xB-）=（1+k12）[xAxB-（xA+xB）+]. 同理也可以求出TP·TQ的表达式，再由TA·TB=TP·TQ得出等式，将所得到的等式化简、整理、计算，可以求出直线AB的斜率k1与直线PQ的斜率k2之和为0.

三、加强数学实验，用数学思维分析问题

例4. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折. 规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推. 则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为        ;如果对折n次，那么Sk=         dm2.

赏析：这道试题的背景平凡普通，是希望通过考查学生的具体实验操作，让学生在思维层次上体验从感性认识上升到理性认识的完美过程. 对称折纸，在小学数学中就有这种实践体验，但是在高考试题中出现，主要的目的还是考查学生的抽象思维能力. 由于长方形是轴对称图形，沿对称轴对折后得到的图形依然是长方形. 对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和S1=240×（）1×2=240dm2;对折2次共可以得到三种规格的图形，它们的面积之和S2=240×（）2×3=180dm2. 以此类推，对折n次共可以得到n+1种规格的图形，它们的面积之和Sn=240×（）n×（n+1）dm2. 显然，计算Sk是考查数列求和的重要方法——错位相减法. 将重要的考点不动声色地藏于平凡普通的背景之中，这不能不让人赞叹命题人的命题智慧！这也真实、生动地阐释了“数学来源于现实，但又高于现实”的内涵.

当然，让学生在考场上做实验、慢慢地研究其中的规律并归纳总结，显然难度是极大的. 高考试题与其是说考查学生数学实验的能力，倒不如说是考查学生“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界”的良好习惯.

责任编辑 罗 峰