角平分线的运用技巧

杨文金

三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何计算或证明中起着“桥梁”的作用. 若几何图形中出现角平分线，可联想角平分线的特性，利用如下三种求解策略解决问题.

一、图中有角平分线，向两边作垂线

例1 如图1，Rt△ABC中，∠C = 90°，用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE = BD;分别以D，E为圆心，以大于[12]DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于F;作射线BF交AC于点G. CG = 1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）.

A. 无法确定 B. 0.5 C. 1 D.2

解析：如图1，过点G作GH⊥AB于H. 根据角平分线的性质定理证明GH = GC = 1，利用垂线段最短即可求得GP的最小值为1. 故选C.

例2 如图2，已知∠BCD = 90°，BD平分∠ABC，AB = 6，BC = 9，CD = 4，则四边形ABCD的面积是（ ）.

A. 24 B. 30 C. 36 D. 42

解析：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE = CD = 4，则四边形ABCD的面积 = [12]BC∙CD + [12]AB∙DE = 18 + 12 = 30. 故选B.

二、角平分线 + 垂线，“三线合一”试试看

例3 如图3，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E. 求证：∠ACE = ∠B + ∠ECD.

解析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，联想等腰三角形“三线合一”，延長CE交AB于点F，构造△FEA ≌ △CEA，则∠ACE = ∠AFE，于是∠ACE = ∠AFE = ∠B + ∠ECD.

三、角平分线 + 平行线，等腰三角形即呈现

例4 如图4，AB = AC，D是BC的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF[⫽]BC，交AB于点F.（1）若∠C = 36°，求∠BAD;（2）求证：FB = FE.

解析：（1）利用等腰三角形“三线合一”，证明∠ADB = 90°，由等腰三角形性质可求得∠BAD = 54°.

（2）由EF[⫽]BC可得∠FEB = ∠CBE，由BE平分∠ABC可得∠ABE = ∠CBE，则∠FBE = ∠FEB，于是FB = FE.

（作者单位：山东省枣庄市第二中学）