例说典型分类 提升解题能力

文／杨 丹

命题人常通过设置综合性问题，考查同学们对一元二次方程的灵活运用，突出方程思想。下面就以2021 年中考题为例进行归纳剖析，以期对同学们的学习有所帮助。

一、方程概念的综合运用

例1（2021·四川广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2-3x+1=0 有实数根，则a的取值范围是（ ）。

【分析】根据“一元二次方程”得到a+2≠0；由“有实数根”得到Δ=（-3）2-4（a+2）×1≥0。

【答案】A。

【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式和一元二次方程根的概念。本题的易错点有：当一元二次方程的二次项系数含有字母时，要注意二次项系数不等于0；有实数根包含两层含义，一是方程有两个不相等的实数根，二是方程有两个相等的实数根，两种情况都属于有实数根，所以Δ≥0。

例2（2021·江苏宿迁）方程=1的解是________。

【分析】第一步是先两边同时乘x2-4，将分式方程去分母化为整式方程；第二步去分母后整理为x2+x-3=0，解一元二次方程；第三步对分式方程的解进行检验。

【答案】x1=

【点评】本题考查解分式方程和一元二次方程。本题的易错点有：去分母时，漏乘常数项1；分式方程忘记检验解是否增根。

例3（2021·湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值。

【分析】根据“有实数根”得到Δ≥0，即（2m）2-4（m2+m）≥0；由“x12+x22=12”联想到完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和韦达定理x1+x2=-得到（x1+x2）2-2x1x2=12，又∵x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，由一元二次方程解得m=3 或m=-2；根据m的取值范围得到m=-2。

【答案】（1）m≤0；（2）m=-2。

【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系和完全平方公式的应用。本题的易错点有：完全平方公式的应用；在使用根与系数的关系时，忘记前提条件Δ≥0，而没有检验所求出的解。

二、新定义中的一元二次方程

例4（2021·浙江杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2=0，则称函数y1和y2具有性质P。以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）。

【分析】根据条件梳理得到以下信息：y1和y2是用x表示的函数；当x=m时，y1=M1，y2=M2，M1+M2=0，则称函数y1和y2具有性质P。具有性质P要满足两个条件：存在实数m；满足M1+M2=y1+y2=0。对照题目要求要满足：存在x使得y1+y2=0，即将两个函数相加和为零且所得到的方程有解即可。

【答案】A。

【点评】本题属于新定义类问题，根据给出的定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路。本题也可利用函数图像快速解答。本题的易错点有：没有理解函数y1和y2具有性质P的含义（对于新定义题型，最关键的就是理解定义）；根据根的判别式判断一元二次方程是否有解。

三、一元二次方程与图形的结合

例5（2021·浙江温州）如图1，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB=∠CFD=90°。

图1

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当AB=5，tan∠ABE=，∠CBE=∠EAF时，求BD的长。

【分析】易证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE=CF，即可得出结论。

【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数（九年级下册学习）、解一元二次方程。本题的易错点有：平行四边形识别方法不够简洁，导致浪费时间；不会使用条件AB=5，tan∠ABE=，在直角三角形中只要有一边一角或两边就可求这个直角三角形中所有量。

四、一元二次方程和函数、图形的结合

例6（2021·浙江温州）如图2，点A、B在反比例函数的图像上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE。若OE=1，OC=，AC=AE，则k的值为（ ）。

图2

【答案】B。

【点评】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用和解一元二次方程。本题的易错点有：线段和点的坐标的对应关系，以及线段和点的坐标的相互表示；点的坐标有正负，而线段永远是正数；有垂直就有直角三角形，则有勾股定理这个等量关系；重视图像这个隐含条件，反比例函数图像在第一象限，则k＞0，即一元二次方程求解时，注意解的实际意义。