多重信号分类算法用于通信信号测向的仿真分析

马思强，李雄风，许 衍

（中国电子科技集团公司第三十六研究所，浙江 嘉兴 314033）

0 引言

空间谱估计是阵列信号处理的重要研究方向之一，它主要依托于空间多传感器阵列构成的处理系统，完成对空间信号多种参数的准确估计，这些参数包括入射信号的方位角、俯仰角、信号源数等。正如时域频谱表示信号在各个频率上的能量分布那样，空间角谱（空间谱）表示信号在空间各个方向上的能量分布，它和信号的到达方向（DOA）直接相关，故最常用于DOA估计，也就是测向。空间谱估计技术具有突破物理孔径限制的超分辨特性，能够大大改善空间信号的角度估计精度、角度分辨力及其它相关参数精度，因而在雷达、通信、声呐等众多领域有着极为广阔的应用前景。

空间谱估计技术主要形成于20世纪60年代，其中最早的算法是常规波束形成（CBF）算法[1]，后来又发展出最大熵（MEM）算法[2]和最小方差（MVM）算法[3]等。从20世纪70年代末开始，空间谱估计的相关研究开始涌现出大量的优秀成果，其中以1979年Schmidt等人提出的多重信号分类（MUSIC）算法[4]最为突出。该算法实现了传统测向技术到现代超分辨测向技术的飞跃，同时也促进了子空间分解类算法[5−10]的兴起。

本文主要研究以MUSIC算法为代表的空间谱估计测向方法在通信侦察测向领域的应用。

1 空间谱估计基本原理

1.1 基本假设

空间谱估计系统主要由3个部分组成：其一是空间入射信号，它由信号源向外辐射形成；其二是空间接收阵列，它由天线阵列与接收通道组成；其三是信号处理单元，它负责对各路信号进行综合处理。每个组成部分对应一个空间：空间入射信号对应目标空间，空间接收阵列对应观察空间，信号处理单元对应估计空间。空间谱估计问题，实际上就是用估计空间重构目标空间的问题。为了将物理问题抽象成数学模型，通常需要采取一定的合理假设与近似来简化问题。下面以三个空间为线索，简要说明空间谱估计模型的基本假设。

1）目标空间：由入射信号与复杂环境共同组成的空间。通常假设入射信号是窄带远场信号，并且信号源数小于接收阵列的阵元数。通常把复杂的环境因素统一假设成一零均值的高斯白噪声，并且认为噪声与信号之间相互独立。

2）观察空间：由在空间中按一定方式排列的天线阵元及其接收通道组成的空间。尽管阵元与通道并不需要一一对应，但通常默认一个阵元对应一个通道。通常假设阵列中各阵元是各项同性的且不存在互耦、通道不一致等因素的干扰，并且认为各阵元间的噪声相互独立。

3）估计空间：进行空间谱估计（包括阵列信号处理过程，如阵列校正、空域滤波等）的空间。主要从复杂的观察数据中解算出入射信号的各种特征参数。

1.2 理想数学模型

在以上假设下，考虑N个信号入射到空间某天线阵列上，阵列共有M（M＞N）个阵元，且每个阵元经自己的传输信道将信号传入处理单元。入射信号可用复振幅表示为：

式中，n=1,2,…,N，sn（t）和sn（t−τ）分别表示参考阵元和接收阵元处的入射信号复振幅，un（·）是入射信号的幅度，φn（·）是入射信号的初始相位，ωn是入射信号的角频率，τ是信号到达接收阵元与参考阵元的相对时延。在窄带远场近似下，接收阵元处的入射信号可以简化为：

每个接收阵元均能接收所有入射信号，因此任一接收阵元处的信号总幅度可以表示为所有入射信号幅度的线性叠加。假设阵列中各阵元是各项同性的且不存在互耦、通道不一致等因素的干扰，故每个阵元的增益系数相同（因而可以省略），因此各阵元接收到的信号总幅度可表示为：

式中，m=1,2,…,M，x m（·）是阵元接收到的信号总幅度，nm（·）是阵元接收通道的总噪声。写成矩阵形式为：

式中，X为快拍数据矢量，它表示某一时刻（一个快拍）进入信号处理单元的数据总量；S为空间信号矢量，它表示空间中的各个入射信号；N为噪声数据矢量，它表示各个接收通道的噪声；A为阵列流型或方向矩阵，它与信号的入射方向有关，并可分解为如下导向矢量：

入射信号的空间参数信息主要蕴含在阵列流型A的时延参数中。以参考阵元为原点，空间任意接收阵元与参考阵元之间的时延表达式为：

式中，（x,y,z）是接收阵元的坐标，θ和α分别是入射信号的方位角和俯仰角，c是光速。本文考虑接收阵列是均匀线阵，并以第一个阵元为参考阵元，则第n个信号到达第m个阵元时相对于参考阵元的时延为：

式中，d为相邻阵元的基线长度。不难发现，一维情形下的时延参数不包含入射信号的俯仰角信息，这相当于假定所有入射信号与接收阵列共面。远场条件下的入射信号都可看成均匀平面波，因此这种假定是对模型的合理简化。

1.3 模型的二阶统计特性

在上面的阵列信号接收模型中，已知信息全部来自快拍数据矢量。而空间谱估计的主要目的是提取阵列流型中的入射信号方位信息，常用方法是从模型的二阶统计特性入手来实现这一目的。为此，首先求快拍数据矢量的协方差矩阵：

式中，R S是信号协方差矩阵，R N是噪声协方差矩阵。在理想白噪声近似（噪声分布服从零均值的标准正态分布）下，可改写为：

式中，I是M×M维单位矩阵，σ2是噪声功率（方差）。

在信号源数小于接收阵列阵元数的前提下，阵列流型的各导向矢量之间线性独立。此时对协方差矩阵进行特征分解，可得：

式中，U是M×M维特征矢量空间，U S是M×N维信号子空间，U N是M×（M−N）维噪声子空间。与它们对应的特征值对角矩阵分别为：Σ=diag（λ1,λ2,…,λM），ΣS=diag（λ1,λ2,…,λN），ΣN=diag(λN+1,λN+2,…,λM)。λ和e分别是特征值和相应的特征矢量，且有：

2 多重信号分类（MUSIC）算法

如果接收阵元总共接收了L个时刻的快拍数据矢量，那么根据这L组快拍数据，可以得到协方差矩阵的最大似然估计为：

对其进行特征分解，得到：

在理想条件下，信号子空间与噪声子空间相互正交，此时有：

在实际情况下，接收数据矩阵是有限长的，只能用式（13）和式（14）估计协方差矩阵及其对应的信号子空间、噪声子空间，这导致式（16）并不完全成立，但其仍应取得极小值，因此，真实的信号入射方位角应是使式（16）取得极小值的θ值：

式（17）便是MUSIC算法的基本公式，它通过构造一个目标函数并搜索其最小值来寻找对应的信号入射方位角。通常通过取倒数的形式将最小值问题转化成最大值问题，于是目标函数被转化为：

式（18）被称为MUSIC算法的谱估计公式，其函数图像即为MUCIS空间谱，对θ进行遍历，则在MUSIC空间谱中出现的每一个谱峰对应的θ值均代表一个真实信号的入射方位角。

要获得准确的MUSIC空间谱，必须知道信号源数。但在实际场景中，信号源数一般是未知的，甚至是变化的。因此，信号源数的估计是一个关键问题。实际中快拍数据矢量的协方差矩阵来源于最大似然估计，它并不是准确的，这导致分解所得的信号子空间和噪声子空间并不完全正交，同样的，分解所得的特征值分布也不再完全遵循式（12）所给的规律。因此，很难从特征值分布中准确地判断信号源数，只能根据一定的准则对信号源数进行估计。

常用的信号源数估计方法包括信息论方法[11−12]、平滑秩序列法[13]、盖氏圆方法[14]、正则相关技术[15]等。本文通过信息论方法的MDL准则[12]估计信号源数。

3 仿真分析

仿真条件与空间谱估计理想数学模型的基本假设保持一致。即假定所有入射信号都是窄带远场信号，接收阵元是各项同性的且不存在互耦、通道不一致等因素的干扰，信号源数小于接收阵元数；噪声与信号之间相互独立，各阵元间的噪声也相互独立，且所有噪声都表现为零均值的高斯白噪声。此外，接收阵列为均匀线阵，即只考虑一维模型。

3.1 理想情形

在理想低噪声环境下，假定噪声强度远低于信号强度，即信噪比（SNR）趋于极大值，那么噪声基本可以忽略。现设置接收阵列如下：阵元数M=11，基线长度d=0.1 m。另外，再设置3组模拟入射信号如下：1）信号源数N=2，信号入射方位角分别为−15°、15°；2）信号源数N=4，信号入射方位角分别为−45°、−15°、15°、45°；3）信号源数N=6，信号入射方位角分别为−75°、−45°、−15°、15°、45°、75°。所有信号波长均设为λ=0.3 m。模拟得到的MUSIC空间谱如图1所示。由此可得，在上述仿真条件下，只要满足信号源数小于接收阵元数，MUSIC算法可以同时测得每个入射信号的方位角，并且对不同角度的入射信号都具有很高的测向精度（≤0.005°=18″）。

图1 理想MUSIC空间谱

MUSIC空间谱的测向分辨率主要取决于遍历θ（−90°＜θ＜90°）时的最小间隔dθ，间隔越小，则分辨率越高。如图2（a）—（d）所示，当dθ=0.018°时，入射方位角分别为15°和15.1°的2个信号能被分辨，而入射方位角分别为15°和15.02°的2个信号恰好不能被分辨；入射方位角分别为75°和75.1°的2个信号能被分辨，而入射方位角分别为75°和75.02°的2个信号恰好不能被分辨。这说明测向分辨率在数值上与dθ相当（略大于dθ），并且不受信号入射方位角的影响。如图2（e）—（f）所示，当dθ=0.001 8°时，一个入射方位角为15°的信号不论与一个入射方位角为15.02°的信号组合还是与另一个入射方位角为15.01°的信号组合，都可被分辨。这证实了测向分辨率与dθ的正相关关系。

图2 MUSIC空间谱的测向分辨率

以上分析似乎表明，只要dθ取得足够小，MUSIC空间谱的测向分辨率就可以无限提高。但在实际情况下，遍历θ将会引入巨大的运算量，dθ取得越小，消耗的处理资源就越多。因此，处理资源的限制使得测向分辨率不可能无限提高。

3.2 长基线情形

在第3组模拟入射信号的基础上改变接收阵列的基线长度，以考察MUSIC算法是否受相位模糊的影响。除前面设置的基线长度d=0.1 m外，再另设置2个基线长度：1）d=0.15 m=λ/2；2）d=0.16 m＞λ/2。模拟得到的MUSIC空间谱如图3所示。结合图1（c），可以判断，基线长度只有不大于入射信号波长的一半时，MUSIC空间谱才能正确反映入射信号的数量及各信号的入射方位角；基线长度大于半波长时，MUSIC空间谱的谱峰数量增多（并且容易验证，基线越长则谱峰越多），从而导致虚警的出现。由此可见，MUSIC空间谱估计与干涉仪测向方法[16]一样，存在相位模糊的问题，它们均要求基线长度小于入射信号的半波长。

图3 MUSIC空间谱的相位模糊

3.3 异波长情形

尽管入射信号都是窄带远场信号，但是每一个入射信号的载波波长不一定相同。并且对于低截获概率（LPI）的通信方式，例如跳频通信[17]等，同一信号在不同时刻的载波频率也是在频率集内不断变化的。由此可见，考察入射信号波长不一致的情况对通信信号测向来说是十分必要的。在第3组模拟入射信号的基础上将其中某个入射方向的信号波长放大10%，使其波长变为0.33 m，并将对应的信号入射方位角设置为：75°、45°、15°。其它入射方向的信号波长保持不变。在计算MUSIC空间谱时，采用多波长的均方根值表示所有信号的中心波长λ0，并用λ0替换原本统一的λ去计算式（18），由此模拟得到的MUSIC空间谱如图4所示。不难发现，只要入射信号中的一个波长发生改变，就会影响整个MUSIC空间谱的谱峰分布，且谱峰与真实入射方向的误差（谱峰错位）呈现出以下规律：1）信号的入射方位角（绝对值）越大，谱峰错位受到波长不一致的影响越大，因此测向误差也越大；2）在仅有一个入射信号波长改变时，波长改变的那个入射信号对应的谱峰往往错位较为显著，这可以通过对比入射方位角互为正负的一对入射信号的谱峰错位情况得出。归根到底，谱峰错位来源于中心波长λ0与真实入射波长的不一致，两者越接近，谱峰错位越小。由此可以预见，当所有入射信号的波长都不同时，入射方位角越小且入射波长越靠近中心波长的信号测向误差越小。

图4 入射信号波长不一致时的MUSIC空间谱

MUSIC空间谱的计算仅使用了阵列流型A中的某一个导向矢量a n。在入射信号波长一致时，所有入射信号对应的导向矢量都相同，故MUSIC空间谱可以准确估计每一个信号的入射方位角；而在入射信号波长不一致时，每个入射信号都有自己对应的导向矢量，只能用中心波长去计算导向矢量以尽可能地近似每个入射信号对应的导向矢量，故MUSIC空间谱必然存在误差。因此，MUSIC算法对入射信号波长的敏感性源自其算法本身，是原理性的固有误差。为了探讨MUSIC空间谱估计能允许的最大波长变动，在第3组模拟入射信号的基础上加载不同的波长变化率到不同的入射信号，MUSIC空间谱的测向误差统计如表1所示。对通信信号测向而言，一般可以容忍1°的测向误差。因此在这种入射信号组合下，对15°入射的信号，能允许的波长变化率大约为8%；对45°入射的信号，能允许的波长变化率大约为2%；对75°入射的信号，能允许的波长变化率大约为0.5%。这样的波长差异适应能力是比较弱的。例如，对工作在L频段的Link 16数据链信号，其跳频频率集是位于960~121 5 MHz的51个频点，然而即便是以15°入射时的8%的波长变化率也只能覆盖90 MHz左右的频差，更不用说以更大的角度入射了。

表1 MUSIC空间谱测向误差与波长变化率关系表

当然，这种信号波长对测向误差的影响的估计是比较粗糙的，该误差产生的根本原因是信号波长与中心波长不匹配，因此入射信号的数量和所有信号的波长都对测向误差有贡献。

3.4 含噪声情形

接收阵列阵元数与基线长度保持不变。采用第3组模拟入射信号的配置，即信号源数N=6，信号入射方位角分别为−75°、−45°、−15°、15°、45°、75°，且所有信号波长均设为λ=0.3 m。在有限的信噪比（SNR）下，空间谱估计的性能将受到影响。例如，在SNR=0 d B时，某次模拟计算得到的MUSIC空间谱如图5所示。该空间谱谱线最大的缺陷在于谱峰缺失，模拟入射信号共有6个，均匀分布在−75°~75°区间内，而该谱线的谱峰只有5个，这相当于出现了漏警。另一方面，即便是已有的5个谱峰，相较于低噪声情形，对应的入射方位角估计也出现了更大的误差。如图5右侧的局部放大图所示，以75°入射的信号的DOA估计误差达到了约0.1°，相对于低噪声情形的0.005°（见3.1节）扩大了20倍。

图5 含噪声情形的MUSIC空间谱

相比于测向精度的损失，漏警带来的问题更大。一般情况下，MUSIC空间谱的谱峰数与估计的信号源数直接相等，而各种信号源数估计算法的性能都会随着噪声的增大而降低，这是有限信噪比下发生漏警的根本原因。但在某个固定的信噪比下，多次计算MUSIC空间谱得到的谱峰数可能发生浮动，即漏警并不是每次都会发生，具有一定的漏警概率。为了估计漏警概率，分别在SNR=20 dB、10 dB、0 dB时计算MUSIC空间谱各100次，统计各种谱峰数出现的次数，结果如表2所示。随着信噪比的下降，漏警概率明显上升。在SNR=20 dB时，漏警概率约为5%；在SNR=10 d B时，漏警概率约为20%；而在SNR=0 d B时，噪声功率达到信号功率同等水平，漏警概率达到50%左右，信号源数估计算法基本失效。除此之外，不同信噪比下出现的最小谱峰数也不同，它反映了漏警的严重程度，例如在SNR=0 d B时，有3%左右的概率出现3个谱峰的空间谱，即丢失的入射信号达到3个之多。

从表2来看，信噪比至少需达到20 d B才能将漏警概率控制在很低的水平，这是由于本文仅根据MDL准则编写了十分粗糙的信号源数估计算法。采用更稳健的信号源数估计算法，可以进一步减小所需的信噪比，甚至达到0 d B以下[18]。但无论如何改进算法，信号源数估计都不可能与噪声无关。

表2 有限信噪比下MUSIC空间谱统计表

4 结束语

经过仿真分析，MUSIC空间谱用于通信信号测向具有如下特点：理想的低噪声环境下，只要入射信号数量小于接收阵元数，MUSIC空间谱的谱峰数量就代表入射信号数量，且谱峰出现的位置代表信号的入射方位角，此时的测向精度可以达到10″量级，测向分辨率则由谱峰搜索的最小间隔决定。如果接收阵元的基线长度超过入射信号的半波长，则MUSIC空间谱会因相位模糊而出现虚警，这一点与干涉仪测向相同。如果入射信号的频率不一致或发生改变，则MUSIC空间谱的测向精度将大幅下降，且入射方位角越大，测向误差也越大，这对跳频通信信号等的测向不利。在有限的信噪比下，MUSIC空间谱会产生漏警，其根本原因是信号源数估计算法的正确率下降，另一方面，MUSIC空间谱的测向精度也会受噪声影响而下降。由此可见，将MUSIC空间谱估计方法应于通信信号的测向时，为了更好地适应跳频信号与噪声环境等，必须在抑制该算法的波长敏感性与提高该算法在噪声环境下的稳健性等方面做出进一步的研究与改进。■