基于Matlab GUI的Talbot效应仿真教学平台

吴晶晶 高辉

摘  要：实验展示Talbot效应能够加深学生对于周期性物体衍射现象的理解。然而通过实验平台展示Talbot效应的灵活性低，且学生参与度不高，不能保证每位学生都有动手操作的机会，不便于学生课后的创新性拓展。基于Matlab GUI搭建Talbot效应仿真平台，平台操作的灵活性允许学生自行设计不同的周期性结构并观察其Talbot效应，激发学生的创造性思维，让学生在课后也能够随时开展对菲涅尔衍射以及Talbot效应的观察和研究。

关键词：虚拟仿真  Talbot效应  Matlab  菲涅尔衍射

中图分类号：O436.1                      文獻标识码：A文章编号：1672-3791（2021）05（b）-0015-05

Abstract： The experiment shows that Talbot effect can deepen students' understanding of the diffraction phenomenon of periodic objects. However， the experimental platform shows that the flexibility of Talbot effect is low， and the participation of students is not high. It can not ensure that every student has the opportunity to operate， which is not convenient for students' innovative development after class. The Talbot effect simulation platform is built based on Matlab GUI. The flexibility of platform operation allows students to design different periodic structures and observe their Talbot effect， stimulate students' creative thinking， and enable students to observe and study Fresnel diffraction and Talbot effect at any time after class.

Key Words： Virtual simulation; Talbot effect; Matlab; Fresnel diffraction

Talbot效应，又称为衍射自成像效应，是傅里叶光学中一个非常有趣的现象。1830年Talbot发现：用单色平面波垂直照射一个周期性物体时，在物体后面周期性距离上会出现物体的像，这种自成像的现象就称为Talbot效应[1]。Talbot效应自成像的现象是通过光的衍射实现的，而不是通过透镜实现的[2]，在光刻、光学测量等领域都有非常重要的应用[3-4]。在大学物理教材中的信息光学的章节通常会介绍Talbot效应。在基础物理课堂上，教师如果能够更加直观地展示这一衍射现象，而不是停留在书本介绍，不但能够加深学生的理解，还能开阔学生的视野，引起学生对科学研究的兴趣。

然而，如果是直接搭建光路来展示Talbot效应，存在3个问题：（1）Talbot效应是对周期性物体的自成像效应，在实验中无法获得任意大小、任意周期的周期性物体，降低了实验的灵活性;（2）单纯的老师展示并不能提高学生的积极性，学生的参与感不够强;（3）课后没有实验仪器，不便于学生的复习或者创新性应用[5]。作为教师，不但要直观地展示这一现象，还要让每一位学生都能够参与进来，给予学生充分自由选择的空间。

Matlab软件具有强大的数据运算处理能力，能够快速高效地模拟光波衍射现象，同时，Matlab还支持面向用户的GUI图形界面设计，能够为用户提供轻松的人机交互途径[6]。该文利用Matlab设计GUI，使得学生能够选择不同结构的周期性光栅或者周期性物体，计算出对应的Talbot距离（自成像距离），利用菲涅尔积分计算并观察在不同衍射距离下的衍射图形[7]。这一功能不但为学生提供了更加灵活可选择的范围，更直观地展示Talbot效应，加深学生对衍射现象的理解，还能让每一位学生都能参与到实验中，达到较好的教学效果。

1  Talbot效应基本原理

当一束相干光照射一个具有周期结构的物体，在它的Talbot距离处会衍射得到精确的自成像，这个距离定义为：

式中，d为物体的周期;λ为入射光波长。这就是Talbot效应。周期为d的一维周期性物体可以看作是频率取离散值（n/d，0）的无穷多个平面波分量的线性叠加，其复振幅为：

式中，cn表示各平面波分量的相对振幅和位相分布。当平面波照射物体时，物体后表面的光场分布就是g（x）。这一光场衍射距离z后，其衍射场可以通过菲涅尔衍射理论计算得到。这里从频率域进行分析。物场的空间频谱为：

根据菲涅尔衍射理论，g（x）在z距离处的衍射场分布的频谱为：

因此，在ZT的整数倍距离上可以观察到物体的像。当距离z为ZT的分数倍时，观察到的就是分数Talbot效应，其强度分布通常为原物体结构的周期和位移发生变化后的结果[8-9]。

另外，Talbot效应并不局限于光栅结构，对于任意周期性结构都存在Talbot效应。因此，该平台需要能够允许用户自定义周期性结构，并观察其衍射结果。

2  Matlab GUI模拟Talbot效应

该文利用Matlab的GUI技术实现的主要功能有3项：（1）对方形光栅结构的Talbot效应;（2）对自定义周期结构的Talbot效应;（3）对任意图像的菲涅尔衍射计算。下面分别进行介绍。

2.1 方形光栅结构的Talbot效应

以二维光栅为例来验证Talbot效应以及分数Talbot效应。图1（a）中的二值方形光栅大小为256×256像素，单个周期大小为32×32像素，每个像素为0.125 μm，在x方向和y方向的占空比都为1/2，波长为0.8 μm。图1（a）在ZT处的衍射强度图像详情见图1（b）所示，与光栅本身完全相同。而根据分数Talbot效应，周期物体在分数Talbot距离处得到的菲涅尔衍射强度分布是物体本身经过平移后的叠加的结果。图1（c）和图1（d）显示了图1（a）经过ZT/2和ZT/4距离的衍射强度分布。可以看到，当物体占空比为1/4时，物体在ZT/4处的菲涅尔衍射强度分布就是均匀分布。

为了让学生更好地理解Talbot效应以及更方便地模拟操作，第一个菜单的图形面板见图2。其中M和N表示物体整体的长度和宽度，dx和dy表示结构在x和y方向的周期，wx和wy表示一个光栅一个周期内透光部分的x方向和y方  向的大小。上述参数都是以像素为单位。“尺寸/像素（μm）”表示每个像素的尺寸，单位为μm。“波长（μm）”表示光源的波长。

操作面板分为4个功能，第一个功能是生成物体图形。根据输入的光栅结构参数，点击“1.生成物体图形”按钮生成物体结构，并将物体图形显示在第一个图形框中。第二个功能是计算Talbot距离，点击“2.计算Talbot距离=”按钮，ZT=2d2/λ的计算结果就会显示在按钮后的文本框中。第三个功能是进行衍射运算。先将衍射距離输入到文本框中，随后点击“3.衍射运算”按钮，在用户所设置距离处的衍射强度图像会显示在第二个图形框中。这里用户可以设置衍射距离为ZT的分数倍和整数倍，来观察衍射图像的变化和规律。第四个功能是可以设置一个轴向的衍射距离范围，点击“4.轴向截面”按钮，会将所设置的距离范围内的衍射图像横截面显示在第三个图形框中，以方便学生更加直观地观察Talbot效应的规律。3个图形框下方有“查看/操作”按钮，可以对图像进行保存和后续处理。

2.2 自定义结构的Talbot效应

任意结构的周期性物体也存在Talbot效应，对任意结构的周期性物体Talbot效应的研究不但能促进学生研究的积极性，还能激发出更多的创造性思想。图3（a）为周期性的字母排列物体，大小为256×256像素，单个周期为64×64像素，其他参数与图1相同。图3（b）-3（e）分别为ZT/8、ZT/4、ZT/2和ZT处的衍射强度分布。

第二个菜单的图形面板见图4，大部分按键与图2相同，区别在于结构参数部分。这一部分可以让学生用户自定义选择电脑中的图片作为周期性结构。通过面板上的“自定义图形……”按钮，可以打开文件夹选择电脑中任意图像作为结构，并将图像显示在按钮右侧。操作部分的按钮与图2中的功能相同。学生可以自由地选择和制作不同图案作为结构，然后设置不同的尺寸和周期，从而制作感兴趣的周期性物体，并验证和观察其Talbot效应。这一部分的功能为学生在课堂和课后对Talbot效应的拓展性应用提供了自由的平台。

2.3 对任意图像的菲涅尔衍射

第三个菜单的功能属于附加功能。光的菲涅尔衍射理论在波动光学中是非常重要的理论，需要学生能够深入理解。在实际的光学实验中，如果想要观察任意图形的菲涅尔衍射，通常需要借助空间光调制器等价格较贵的设备，并且很难为每一位学生提供操作机会。对菲涅尔衍射的仿真实验的需求较高。因此，在第三部分附加了如图5所示的面板。学生可以通过“选择二值/灰度图形……”按钮选择电脑中的任意图片，并显示到第一个图形框中。设置不同的衍射参数后，点击“显示衍射强度图像”按钮，就可以得到菲涅尔衍射结果。

3  结语

随着计算机软件、硬件的发展，计算机仿真实验平台的功能越来越全面。利用Matlab GUI功能搭建的Talbot效应仿真实验平台能够为学生提供非常简单易懂的操作界面、灵活多变的功能、正确可靠的运算结果，不但能够激发学生的动手积极性，还能拓宽学生的知识面，激发学生的创造能力，并为学生自主科研提供了平台。

参考文献

[1] 吕乃光.傅里叶光学[M].2版.北京：机械工业出版社，2006：90-93.

[2] 黄高坤.二维栅格泰伯效应的理论和实验研究[D].西南大学，2019.

[3] 尹东旭，周素梅，谢意木男.球面波入射二维光栅的泰伯效应[J/OL].激光与光电子学进展：1-11[2021-07-06].https：//www.kns.cnki.net/kcms/detail/31.1690.TN.20210113.1053.006.html.

[4] 徐星.基于二维栅格的泰伯—莫尔效应的微小角度测量的理论和实验研究[D].西南大学，2020.

[5] 袁霞.Talbot效应探究实验设计[J].大学物理实验，2019，32（1）：80-83.

[6] 谢根，苏艳丽，王小平，等.MATLAB GUI在普通物理实验教学中的应用[J].大学物理实验，2019，32（4）：72-75.

[7] Kotov M M，Danko V P，Goloborodko A A. Simulation of Talbot Effect from a Binary Phase Grating using Fresnel Integral Approach[J].Optics and Lasers in Engineering，2021，137：106400.

[8] Morozov A N，Salbieva L R，Skuibina B G，et al.Observation of the High-Order Fractional Talbot Effect in the Optical Range[J].Optics and Laser Physics，2018，7（6）：368-370.

[9] Yang R，Xue Z，SHI Z Y，et al.Scalable Talbot Effect of Periodic Array Objects[J].Chinese Optics Letters，2020，18（3）：030501.