等应变率基片的有限元分析

雷冰冰， 卢文科， 孙 鉴， 苏艳娇

(1. 北方民族大学 计算机科学与工程学院，宁夏 银川 750021; 2. 东华大学 信息科学与技术学院，上海 201620)

声表面波(surface acoustic wave， SAW)传感器是声学理论研究、压电材料研究成果和电子科学技术进步有机融合的产物[1]。近年来，仿真分析技术日趋成熟，有限元分析方法被广泛应用于SAW传感器的理论研究[2]、传感机理的创新[3-4]和其工作性能的提升[5]等方面，SAW传感器的仿真分析研究被广大学者关注。

在SAW传感器设计阶段，研究人员常用有限元分析软件诸如ANSYS和COMSOL建立器件的应力应变、脉冲响应、等效电路和多物理场耦合等分析模型，以此指导SAW传感器的设计工作。Kaletta等[6]分析AlN/SiO2/Si结构瑞利波器件的二维有限元仿真模型，以提高器件的耦合系数与声波波速。张祖伟[7]采用COMSOL软件研究金刚石/AlN/SiO2复合膜的膜厚度对声表面波传播特性的影响。刘久玲等[8]使用有限元方法对声表面波谐振器的耦合模参量进行分析，给出可提升SAW气相色谱仪灵敏度的方案。赵一宇等[9]将有限元和微扰理论相结合来研究叉指电极质量负荷对SAW横波压力传感器灵敏度的影响。由此可知，使用有限元方法对SAW器件特性进行仿真是有效可靠的，并有助于器件性能提升。

研究[10]发现应变率对悬臂梁结构的SAW力敏传感器工作性能具有直接影响。悬臂梁结构常使用压电材料基片，Lei等[10]利用有限元仿真对基片应力应变特性分析的结果表明：基片应变率在z轴方向(金属指条平行方向)呈现不均匀分布，这会引起叉指换能器的指条在不同z轴位置的受力应变程度不一致，从而导致同一指条不同z轴坐标处的声同步频率出现差异。为消除这一现象，采用有限元方法和回归分析方法设计基片的等应变率几何结构，给出其求解模型和改进二分法求解算法，并使用有限元仿真分析法进行验证。

1 基片应变率及其分布特性

1.1 基片应变率

图1为悬臂梁结构压电基片受力应变示意图，其长、宽和高分别为L、W和H。定义点M0为原点，M0M17为x轴，M0N0为z轴，垂直向上方向为y轴正方向。将M0M17按1 mm进行等分，新得16个点，命名为点M1～M16。同理，将在N0N17上取得的点命名为N1～N16。

图1 悬臂梁结构压电基片受力应变图Fig.1 Piezoelectric substrate strain diagram for cantilever beam structure

当外部载荷F施加于点P时，基片产生应变，此时基片上存在点MX将产生最大应变位移值ΔL。 ΔL与基片长度的比值往往小于0.3%，假定是沿SAW传播方向拉伸基片，拉伸长度为ΔL，基片应变如式(1)所示。

(1)

式中：ΔL′为单位力在基片上能引起的应变位移最大值。

应变可改变基片的力学和电学特性，此时传感器输出信号的频率变化量如式(2)[11]所示。

(2)

1.2 基片应变率分布特性

选定基片J1，其长、宽、高分别为17.0、 3.0、 0.5 mm，材料为42.75°Y切X传播石英单晶。在ANSYS 13.0软件中使用的材料单元类型为SOLID 185，约束面为固定在侧壁的面，施加载荷F为0.196 N。由于金属膜厚度不及基片厚度的0.1%，仿真时可忽略不计。对基片J1进行有限元受力应变仿真分析，结果如图2所示。

图2 基片J1的应力应变的仿真结果Fig.2 Stress-strain simulation result of substrate J1

应变率δ反映施加载荷时基片的形变程度，为方便计算，从仿真结果中提取变化量ΔL，定义点Mi处的基片应变率为

(3)

式中：rMi、rMi-1分别为点Mi、Mi-1处的应变位移值；xMi、xMi-1分别为点Mi、Mi-1处的x轴坐标。

取线段M7N7和M8N8之间的基片区域，绘制基片上的指条T1的应变率分布图，如图3所示。

图3 指条T1上不同z坐标处的应变示意图Fig.3 Schematic of strain at different z-coordinates on finger T1

由图3可知，指条T1未应变时，其宽度在任一z坐标处均为SAW固有波长的1/4，虚线框是其应变后形状。将线段M7N7和M8N8三等分，分别得到点K72、K74和K82、K84。根据式(3)，用点K82处基片的应变率表示线段K72K82所经过基片表面处的应变率，并取式(3)分母为1 mm，可得指条T1在线段K72K82上的位置应变后宽度a1为

(4)

式中：a为指条T1未应变时的宽度；rK82、rK72分别为点K82、K72处的x轴坐标。

根据图2的仿真结果，提取式(4)所需相关点处的应变位移值，如表1所示。

表1 样本点应变位移值Table 1 Strain vector displacement value of sample points

根据表1，将a=λ/4和F=20代入式(4)，计算得到指条T1在线段K72K82上的宽度变化量为

(5)

同理，可得指条T1在线段K74K84上的宽度变化量为

(6)

由式(5)和(6)可知，Δa1≠Δa2，这表明施加载荷后指条T1在不同z轴坐标位置上产生了大小不等的应变量，即应变位移值和方向角均有差异，如此势必导致处在不同z轴坐标处指条的声同步频率变化量具有差异，考虑到指条数量众多，效应累积，将不利于传感器声同步频率的稳定。为消除这一影响，提出基片的等应变率结构。

2 等应变率基片求解

2.1 基片受力应变特性

(7)

式中：αM1、βM1、γM1分别为rM1与x、y、z轴所夹的方向角。

图4 点M1处的应变示意图Fig.4 Strain vector diagram at point M1

从有限元仿真输出结果提取点M1～M17的应变位移，根据式(7)计算这些点处的应变位移方向余弦，比较后发现这17个点上的应变位移方向角存在式(8)所示关系。

(8)

有限元仿真结果显示，点M1～M17处的应变位移值符合式(9)。

rM1

(9)

且在它们y坐标、z坐标均相同情况下，x坐标符合式(10)。

xM1

(10)

在式(8)～(10)揭示的线段M0M17上各点应变位移值、方向角和坐标值之间存在的特性关系基础上，分析可知：产生应变时，任意直线上各点的应变位移值与其距原点距离之间的函数关系呈单调性，且各方向角均随其离原点距离增加而单调变化。

2.2 等应变率基片求解模型

根据上述基片应变特性，如果在基片平行z轴线条上找到一种合理削弱这种单调关系的方法，使同一叉指的不同z轴坐标处应变率趋于一致，则可解决叉指在z轴方向的应变不均匀问题，具有这一特性的基片称之为等应变率基片。这可以通过使线段M0M17和N0N17上x轴坐标相等点对处的应变率相等来实现。由于这些点对的x轴坐标都相等，由式(3)可推导得到这些点对处的应变位移值相等，即满足式(11)。

rMi=rNi{i|i∈R， 1≤i≤17}

(11)

式(11)完全成立所建立的数学模型求解复杂，故将其转化为

(12)

(a)

(b)

(c)

(d)

(13)

式中：k00～k0n、k10～k1n、k20～k2n、k30～k3n、k40～k4n和k50～k5n为回归系数；f(s)表示不同s值时的应变位移值。

根据式(12)和(13)，同时考虑求解可行性，推导得到求解s值的目标函数为

(14)

2.3 等应变率基片模型的求解

式(14)需要F0(s)、F1(s)、F2(s)的取值尽量同时趋近于0，约束条件为式(13)，令终止条件e=10-4，如此该数学模型的改进二分法求解步骤如下：

(1) 设置参数s∈[b，c]，并满足F0(b)F0(c)<0、F1(b)F1(c)<0和F2(b)F2(c)<0，令[b，c]的中点为x1=(b+c)/2，计算F0(x1)、F1(x1)和F2(x1)。

(2) 取点x2=(b+x1)/2，计算F0(x2)、F1(x2)和F2(x2)，取点x3=(x1+c)/2，计算F0(x3)、F1(x3)和F2(x3)。

(4) 若e1

(5) 若|x2-x3|

表2 样本点应变位移值Table 2 Strain vector displacement value of sample points

根据表2数据，使用回归分析求解n=3时的式(13)为

(15)

将式(15)代入式(14)，得目标函数

(16)

在MATLAB软件中采用改进二分法求解目标函数为式(16)、约束条件为式(15)的数学模型，取参数s∈[0， 12]，得s=4.412 7，即点M0沿x轴负方向延伸4.412 7 mm对应图5(a)所示形状基片为等应变率结构基片，称其为J2。

3 等应变率基片验证

图6 基片J2受力应变的仿真结果Fig.6 Stress-strain simulation result of substrate J2

表3 样本点应变率Table 3 Strain rate of sample points

σ′8=δmax-δmin=0.25

(17)

式中：δmax是这些点处应变率最大值；δmin为最小值。

(18)

同理，基片J1的线段M8N8上7个点处应变率波动幅度为

σ8=δmax-δmin=4.09

(19)

线段M8N8上的应变率不一致的程度为

(20)

在等应变率基片J2的线段M′7N′7和M′8N′8之间区域上，对于指条T1′在线段K′72K′82、K′74K′84上的宽度变化量可根据式(5)计算得到。

(21)

对比式(21)与式(5)和(6)可知：相比普通基片J1，等应变率基片J2的指条T1′在不同z轴坐标处的受力应变位移差异显著降低，表明等应变率可有效解决基片受力后金属指条在不同z轴坐标处的应变不一致问题。

为进一步分析试验效果，对基片上多个平行z轴线条的应变率波动范围和应变率不一致程度进行对比，如表4所示。由表4可以看出，在列出的全部平行z轴线条上，等应变率基片的应变率波动幅度大幅下降。对于应变起伏程度，在列出的9条线条上，除M17N17以外的线条均显著降低。这表明，等应变率基片成功消除了应变率在z轴的分布不一致情况，有效抑制了叉指在不同z轴坐标位置上的应变矢量位移值差异，有利于叉指换能器保持声同步频率变化量的一致。

表4 样本线条的应变率不一致情况对比数据Table 4 Contrast data of strain rate inconsistency on sample lines

4 结 语

为解决基片应变率不均匀所导致的金属指条在不同z轴坐标处受力应变显著差异问题，提出基片的等应变率结构，给出等应变率基片的几何结构和求解模型，并使用改进二分法求解得到长、宽、高分别为17.0、 3.0、 0.5 mm的42.75°Y切X传播石英基片，其需在图1所示点M0处向z轴负方向延长4.412 7 mm，所得形状的基片为等应变率基片。使用有限元分析法对等应变率基片效果进行验证，仿真结果表明，等应变率基片在平行z轴的线条上，应变率差异大幅降低，有效解决了应变率在z轴方向上的分布不均匀问题。