同构法在2020年高考中的应用研究

李昌成 张珍

摘 要：同构法是一个重要的数学解题方法.2020年高考中有些难题可以使用这个方法突破.通过对具体例子的分析、解答、评析，抛砖引玉，以期引起大家注意，并在适当的时候使用这个方法，提高解题准确率和知识应用层次.

关键词：同构法;高考;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0061-02

一、同构法简介

数学中很多式子的结构就反映了本质，具备了结构才具有其性质.同构法就是利用同构式解题的方法.同构式是结构相似，架构相同的式子.利用同构法解题的基本步骤有：（1）构造合理正确的同构式;（2）利用相关性质解题;（3）回归题目，完成解答.

二、应用举例

解答指数函数、对数函数、三角函数、平面向量、数列、导数以及不等式等模块的试题时，经常会用到同构法.下面以2020年高考数学试题为例，谈谈同构法的应用.

例1 （全国Ⅱ卷理科第11题，文科第12题）若2x-2y<3-x-3-y，则（）.

A. ln（y-x+1）>0B. ln（y-x+1）<0

C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0

分析 以指数式的指数为研究对象，将原不等式变为2x-3-x<2y-3-y，构造函数ft=2t-3-t，易判断ft在R上单调递增.由单调性的定义知x<y，以此判断各选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.

解 由2x-2y<3-x-3-y移项得：2x-3-x<2y-3-y.

令ft=2t-3-t，则f（x）<f（y）.

因为y=2x为R上的增函数，y=3-x为R上的减函数，所以ft为R上的增函数，所以x<y，

所以y-x>0，所以y-x+1>1，所以lny-x+1>ln1=0，因此，A正确，B错误;而x-y与1的大小没有信息能确定，故C，D无法确定.

综上，选A.

评析 本题考查了指数函数的性质，对数式的大小的判断，解题的关键是构造函数ft=2t-3-t，构造的依据是函数的概念，解析式的相同结构.利用该复合函数的单调性得到x，y的大小关系，解题过程渗透了转化与化归的数学思想.

例2 （全国Ⅰ卷理科第12题）若2a+log2a=4b+2logb4，则（）.

A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2

分析 从指数式、对数式的底数入手，结合指数式、对数式运算性质，构造函数f（x）=2x+log2x，利用放缩技巧，根据f（x）的单调性可得到正确答案.

解 设f（x）=2x+log2x，易知f（x）为增函数，因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f（a）<f（2b），所以a<2b.

综上，选B.

评析 本题以指数函数、对数函数以及指数、对数的运算为基础，主要考查函数、方程、不等式的关系，突破口是同构法的应用.恰当放缩才能利用函数f（x）=2x+log2x的单调性比较大小，也是本题压轴的原因所在.

例3 （全国Ⅲ卷文科第10题）设a=log32，b=log53，c=23，则（）.

A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b

分析 已知的a，b都是对数式，c=23=2·13是一个分数，因此必须从形式上改进统一.考虑到c的分母，分别将a，b改写为a=13log323，b=13log533.根据需要，结合对数恒等式n=logaan，c可以有不同的形式，但须与a，b有相同的结构，才可以利用对数函数的单调性解题.

解因为a=13log323<13log332=23=c，

b=13log533>13log552=23=c，所以a<c<b.

综上，选A.

评析 本题在结构上进行了3次大的处理，一是给a，b统一配系数13;二是两次2的构造是在左边对数底数引导下进行的，才使得同样结构的对数式准确出现.同构法用得十分巧妙.解题过程虽简洁，但思维含金量高.

例4 （江苏卷第11题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1（n∈N+），则d+q的值是.

分析 等差数列和等比数列前n项和公式都有独特的形式，已知的前n项和Sn可分成等差数列的前n项和与等差数列的前n项和，依据形式特征分别求得an，bn的公差和公比，最后求得d+q的值.

解 设等差数列an的首项为a1，公差为d;等比数列bn的首项为b1，公比为q，依据题意知q≠1.

an的前n项和公式为

An=na1+nn-12d=d2n2+a1-d2n，

bn的前n项和公式为Bn=b11-qn1-q=-b11-qqn+b11-q，

依题意Sn=An+Bn，即n2-n+2n-1=d2n2+a1-d2n-b11-qqn+b11-q，

依據结构，比较系数得d2=1a1-d2=-1q=2b11-q=-1，解得d=2a1=0q=2b1=1.所以d+q=4.

评析 本题依据已知Sn=n2-n+2n-1=（n2-n）+（2n-1）的特点，恰当地利用了等差数列和等比数列前n和的公式结构，利用同构法准确建立出四元方程组，思路简洁，预算量小，充分展示了同构法的优越性.

例5 （全国Ⅰ卷文科第16题）数列{an}满足an+2+（-1）nan=3n-1，前16项和为540，则a1=.

分析 已知中存在（-1）n，所以必须对n为奇偶数分类讨论，进而得出奇数项、偶数项各自的递推关系.根据奇数项递推关系将各奇数项用a1表示出来，根据偶数项递推关系将相邻偶数项和用数值表示出来，从而建立关于a1方程，即可解出a1.

解 an+2+（-1）nan=3n-1，

当n=2k-1，k∈N*时，an+2=an+3n-1①

当n=2k，k∈N*时，an+an+2=3n-1②

设数列an的前n项和为Sn，依据①②的结构特征得

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16

=（a1+a3+a5…+a15）+[（a2+a4）+…（a14+a16）]

=[a1+（a1+2）+（a1+10）+（a1+24）+（a1+44）+（a1+70）+（a1+102）+（a1+140）]+（5+17+29+41）

=8a1+484=540.

解得a1=7.

評析 本题表象上考查数列的递推公式，实际上巧妙地考查了同构法，对①②两式的结构必须深刻理解，否则难以应用，这属于信息题的范畴.对于①还有等差数列的印迹，通过递推能实现各项向a1的转化.对于②学生不曾接触，是一个新鲜模式，必须理解到：相邻偶数项和是与a1无关的一个实数，否则无法推进解答.整个解题过程都离不开递推关系的结构引领.

三、练习链接

1.已知函数fxx∈R满足f-x=2-fx，若函数y=x+1x与y=fx图象的交点为x1，y1，x2，y2，xm，ym，则∑mi=1xi+yi=（）.

A.0B.mC.2mD.4m

参考答案：B.（提示：利用中心对称的结构特征解答.）

2.设函数f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是.

参考答案：x<-1或0<x<1.（提示：利用商函数的导数式结构解答.）

有些式子的结构很明显，可以直接使用同构法解题，如例1、例4;有的式子结构不明显，需要重构，重构的关键在于对问题本质的把握，凑足条件，如例2、例3;有的式子的含义是临时赋予的，需要在当时的情景中比对应用，如例5.同构法解题相对灵活，既需要扎实的基本功，又有相当的灵活性.它往往是突破难题的有力武器.

参考文献：

[1]任志鸿.十年高考[M].北京：知识出版社，2016.

[责任编辑：李 璟]