一道关于“角的存在性”中考试题的解题感悟

李玲玲

摘  要：以2019年中考山东济南卷第27题为例，对比分析试题的多种解法，获得求解角的存性问题的基本策略是抓住角的特殊性，运用几何变换思想转化问题. 其中起到关键性思路触发作用的是学生的图形变换意识和积累的几何模型经验. 由此带来的教学启示是，教师在日常的解题教学过程中要提高学生的几何变换思想，注重对基本几何模型的提炼和积累.

关键词：存在性;图形变换;几何模型

角的存在性问题是近几年中考的热点问题之一，往往出现在综合性较强的压轴题中，具有较高的难度. 学生初次解答此类题目时，常有无从下手的感觉. 因此，从解题和教学两个层面探索此类问题的破解策略很有必要. 2019年中考山东济南卷第27题就是一道以角的存在性为指向的试题，具有典型性. 笔者希望通过对此题多种解法的对比分析，管窥角的存在性问题的破解之道，與同行交流.

一、试题评析

【评析】初读此题有可能被看似复杂的图形“吓退”. 细看会发现，尽管此题涉及了对一次函数、二次函数、待定系数法、平行线、相似三角形、勾股定理等众多初中数学核心知识的考查，且第（3）小题更有难度，承载着全卷压轴的功能，但此题并不是新题型，若平时多加积累，会发现是有章可循的. 由于前两道小题较为简单，本文不予解析，下面仅就第（3）小题角的存在性问题进行分析.

二、第（3）小题多解呈现及其对比分析

第（3）小题中，去掉二次函数和一次函数背景，只保留关键信息，如图4所示. 由于题目已明确点P在直线DE下方的抛物线C上，故不再需要分类讨论. 下面分析解答此题的基本策略.

45°角是个特殊角. 因此，该题第（1）小题无论采用哪种方法解决都会很简单;在第（2）小题中，因为[∠DBP=135°]，所以它的补角为45°，从而转化为45°角的存在性问题;第（3）小题分三种情况进行讨论即可;在第（4）小题中，虽然[∠DBP]不再是特殊角，但用前文提到的处理策略亦可轻松解决.

四、教学感悟

1. 几何变换是求解角的存在性问题的基本策略

从解题的角度来看，本文给出的关于角的存在性问题的解法各具特色，哪种方法更容易被接受，相信读者心中自有定论. 值得说明的是，当一道题目，尤其是综合性较强的压轴题有多种解法时，每个人所擅长的解法往往是不一样的，究其原因是每个人的解题习惯、知识技能储备及对题目的理解角度都有所不同. 自然解法生成的提出从表面上看是关注其是否为学生最容易想到的解法，但本意应该更多的关注学生为什么容易想到，怎样才能使学生容易想到，这比多发现一种或几种解法更加重要. 至于“怎样才能容易想到”，笔者认为，首先要增强学生的图形变换（相似变换、全等变换）意识. 综合以上解法，可以发现无论是构造“相似三角形”“一线三等角”“母子型相似”，还是“整体旋转”，其本质都是运用几何变换来转化问题.

2. 模型的提炼与积累是提高学生几何变换思想的有效途径

从教学的角度来看，通过以上几种方法分析，笔者认为，几何模型的提炼、积累和构造，是提高学生几何变换思想、增强学生解题能力的有效途径. 例如，对于“一线三等角”模型，教师要培养学生能够正确识别、提炼模型，随着做题数量、模型出现频率和积累反思的增加，教师要引导学生逐步达到“知两角构一角”或“知一角构两角”（方法2），甚至根据题目条件“构造三个角”（方法3和方法4）的境界，这样几何变换思想方能体现. 此外，对于模型的构造通常技巧性较强、要求较高，常常需要抓住图形的某一几何特征，从而实施几何变换. 而这些学生很难独立做到，此时教师的教学策略、教学设计、教学引导就显得尤为重要.

总之，掌握并灵活应用几何变换，通过构造基本几何模型，能够达到快速、准确解决问题的目的，这也是探究性几何问题常见的处理策略. 例如，本文中角的存在性问题常见的处理策略（构造“相似三角形”“一线三等角”“母子型相似”“整体旋转”等），均为通过添加辅助线构造几何模型，利用几何变换思想将有关角的问题转化为边的问题进行处理. 因此，教师在教学中要加强对基本几何模型的渗透，注重培养学生的图形变换意识.

参考文献：

[1]郑学涛. 一道中考题的自然解法分析[J]. 中学数学教学参考（中旬），2016（10）：29-30.