基于建模思想的解析几何教学设计

张颖 杨廷尧

摘要：结合数学建模思想，借助线上教学平台，以二次曲线的方程化简为例，从问题背景、建模实例选择及信息化技术选择等方面创新教学设计，并实践于课堂教学。通过数学建模，提高学生运用解析几何知识解决实际问题的能力，提高解析几何课堂的教学效果。

关键词：建模思想、二次曲线、坐标变换

解析几何的主要思想是通过代数的方法来研究几何图形性质，通过建立坐标系把空间的几何结构系统地代数化，确定曲线或曲面的方程或解析式，进行平面解析几何和立体解析几何研究。数学建模思想是利用数学理论结合实际问题，建立数学模型进行求解，根据结果解决实际问题。接下来以二次曲线的方程化简为例，借助现代化信息技术，结合线上线下教学平台，创新教学设计。

一、教学背景

在互联网普及的大环境下成长的学生，相对于传统教学课堂，借助信息技术平台教学，可以更有效调动学生的学习兴趣。大部分学生数学基础薄弱，且缺乏空间几何想象能力，利用解析几何理论知识建立数学模型解决实际问题，可以让学生直观地理解理论知识的实质与应用。基于对解析几何课程的研究，选择恰当的建模实例，创新教学设计。

二、教学分析

2.1 教学内容

本节课以二次曲线的方程化简为切入点，讲解二次曲线的方程化简及应用。授课时长2学时。

2.2 学情分析

学生知识基础分析：通过前期的知识学习，学生已经掌握向量与坐标、二次曲线的方程、基本符号、几何性质。学生能力基础分析：学生动手操作能力强，应用所学知识解决实际问题不足，迁移能力不足，对问题本质分析不到位，对理论知识理解不够透彻且遗忘快。学生素质基础分析：学生具有探究精神，缺乏主动学习意识，数学建模思想薄弱。

2.3 教学目标

第一，知识目标。掌握平面直角坐标变换概念;掌握二次曲线方程的化简和作图方法;第二，能力目标。理解移轴变换和转轴变换对曲线坐标位置的影响，提高学生应用几何知识解决问题的能力。第三，素质目标。培养学生数学建模思维，增强学生的专业探究精神。

2.4 教学重难点及教学策略

本次课程重点是二次曲线方程的化简与步骤，难点是结合坐标变换，利用化简后的二次曲线方程进行作图，并利用所学知识建模解决实际问题。针对学生的学情特点及教学内容，本课程遵循简化数学公式的推导，培养学生建模思维的原则完成教学设计。由课程相关的实际案例导入，充分利用多媒体与数学软件，激起学生学习的兴趣，启发学生数学建模思维。

三、教学设计

本课程教学过程分为建模实例导入、新课讲授、实例讲解、建模求解、课堂小结五部分。针对本课程二次曲线方程化简采用的直角变换公式，结合2020年全国大学生数学建模竞赛D题进行应用教学。

3.1建模实例导入

引入接触式轮廓仪的自动标注问题，轮廓仪是一种两坐标测量仪器，其通过对工件表面进行几何轮廓测量，采样得到一组数据。同一工件放置的位置和角度不同时，测量得到的轮廓线参数的数据值也会存在差异。给定一组水平测量数据，一组倾斜测量数据。提问：如何计算该工件测量时的倾斜角度，并对倾斜数据作水平校正。利用建模相关案例引起学生的学习兴趣，参与到课堂的思考与讨论中，从而引入本节课的教学内容。

3.2新课讲授

在平面上，通过移轴建立新旧坐标系，分析同一个点在新旧坐标系中的坐标表示，引导学生得出新旧坐标的移轴坐标变换公式;同理通过转轴建立新旧坐标系，導出转轴坐标变换公式;最后结合移轴与转轴坐标变换，推导出由旧坐标系变成新坐标系的一般坐标变换公式及其逆变换公式。利用移轴与转轴的几何意义，结合二次曲线的性质，得出二次曲线方程化简规律：中心曲线方程化简先移轴再转轴;非中心曲线方程化简先转轴再移轴。

3.3实例讲解

给出中心曲线方程与非中心曲线方程化简实例，引导学生利用所学知识进行化简，并根据化简后的方程在新坐标系中作出二次曲线的图形。利用多媒体课件展示，并对所作图形进行新旧坐标旋转，由学生自由讨论，总结出变换前后图形形状不变，对应的点坐标发生变化，且符合一般变换公式规律。

3.4建模求解

结合本课程的一般坐标变换公式与图形变换坐标规律，针对课堂导入中提出的建模实例，要求学生分组进行讨论，利用本课程内容进行建模求解。引导学生对案例进行分析，由于案例测量数据量较大，教师通过利用MATLAB软件进行建模求解，首先对水平与倾斜两组数据进行作图，利用直线的斜率计算出倾斜数据的倾斜角度，得到一般坐标变换公式作旋转变换，输入倾斜测量数据作水平校正。

3.5课堂小结

对本课程的移轴、转轴及一般坐标变换公式作小结，根据坐标变换公式可以对二次曲线方程进行化简，也可以对实际案例中的倾斜问题作水平校正，引导学生课后寻找一些与水平校正相关的问题，利用所学知识进行建立求解模型。

四、教学反思

课堂通过往年数学建模竞赛真题中的实际问题展开教学，学生带着问题进入课堂学习，利用所学的知识建立模型，对所提出的实际问题利用MATLAB软件进行求解，让学生体会坐标变换公式规律实际的意义与应用，切身感受到数学的应用价值，以及利用数学软件解决实际问题的便利与高效。

实践证明，将数学建模思想与解析几何教学相融合，可以使学生更加具体地领悟解析几何在实际问题中的应用，也能进一步启发学生的数学建模思想，提高数学建模能力，相互促进，相辅相成。本课堂教学设计目的是通过导入竞赛案例，在完成课堂知识学习的同时，培养学生的数学建模思维，进而更好地将数学知识与实际应用相结合。

参考文献

[1]于育民，连冬艳.基于数学建模思想的解析几何教学改革研究[J].知识经济，2020（16）：161-162.

[2]吴苏.数学建模思想融入解析几何的实际应用探讨[J].科技风，2020（04）：63.

[3]于育民，朱玉清.高校解析几何课程教学改革的实践与思考[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017，33（12）：209-210.