平行四边形典型易错题

王友峰

【中考真题】

1. （2020·湖南·衡阳）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. 下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.

A. AB[⫽]DC ，AD[⫽]BC B. AB = DC，AD = BC

C. AB[⫽]DC，AD = BC D. OA = OC，OB = OD

2. （2020·山东·滨州）下列命题是假命题的是（ ）.

A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B. 对角线互相垂直的矩形是正方形

C. 对角线相等的菱形是正方形

D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

3. （2020·山东·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）.

A. 互相平分 B. 相等

C. 互相垂直 D. 互相垂直平分

4. （2020·广西·玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图2所示. 求证：DE[⫽]BC，且DE=[12]BC.

证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF[ ⫽] BC;②∴CF[ ⫽] AD，即CF[ ⫽] BD;③∴四邊形DBCF是平行四边形;④∴DE[⫽]BC，且DE=[12]BC，则正确的证明顺序应是（ ）.

A. ②→③→①→④ B. ②→①→③→④

C. ①→③→④→② D. ①→③→②→④

5. （2020·湖北·武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图3，AC是[▱]ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，则∠BAC的大小是 .

6. （2020·四川·凉山）如图4，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点. 若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 .

7. （2020·云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA=EC. 若AB=6，AC=2[10]，则DE的长是 .

8. （2020·陕西）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E在边AD上，且AE=2. 若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 .

9. （2020·湖北·恩施）如图6，AE[⫽]BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC=AB，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形.

10. （2020·湖南·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

（1）下列四边形是垂等四边形的是 ;（填序号）

①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形

（2）图形判定：如图7，在四边形ABCD中，AD[⫽]BC，AC⊥BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC=45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形.

11. （2020·内蒙古·呼和浩特）如图8，正方形ABCD中，G是BC边上任意一点（不与B，C重合），DE⊥AG于点E，BF[⫽]DE，且交AG于点F.

（1）求证：AF - BF=EF;

（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由.

【注意事项】

1.判断四边形的形状要明确区分对角线互相垂直、平分、相等的条件，如第2题、第3题.

2.要灵活运用分类讨论思想，如第7题.

3. 判定特殊平行四边形的方法有两种：（1）逐层判定法，即先判定是否为平行四边形，再判定是否为矩形或菱形，最后判定是否为正方形;（2）一次判定法，即从任意四边形出发，直接说明是矩形、菱形或正方形. 第9题采用两种方法均可，但需谨防证明平行四边形后，又证明四边相等，导致简单问题复杂化.

4.认真阅读理解新定义，根据其特征解决问题.第10题中的“垂等四边形”有两个特征：（1）对角线互相垂直;（2）对角线相等.

5.要证a - b = c，可证a = b + c，a - c = b.第11题（1）问将AF - BF = EF改为AF - EF = BF， 证明△ADE ≌ △BAF即可.

6.对于结论探索型问题，要善于借助观察、测量等方法得到正确结论，再进行证明，否则易误入歧途.第11题（2）问，要先得到四边形BFDE不可能是平行四边形的结论，再运用反证法证明.

【参考答案】

1. C 2.D 3. C 4.A 5. 26°

6.10（E，P，D共线，PD最短）

7.[2343]或[83]（提示：分点E在CD或AB上）

8. 2[7]（提示：过A，E分别作AG⊥BC，EH⊥BC，垂足分别为G和H）

9. 略

10.（1）④;（2）证BD = DE

11. （1）证△ABF ≌ △DAE;（2）不可能.

理由：若四边形BFDE是平行四边形，则DE = BF.易证DE = AF，可得BF = AF，于是∠BAF = 45°.而点G不与B，C重合，故而∠BAF ≠ 45°，出现矛盾，∴四边形BFDE不能是平行四边形.