变换中点位置 生成解题模型

左效平

【中考真题】

（2020·湖北·黄冈）已知：如图1，在[▱]ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD = CE.

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]BC，∴∠D = ∠OCE，

∵[∠D=∠OCE]，[OD=OC]， [∠AOD=∠EOC]，∴△AOD ≌ △EOC（ASA），∴AD = CE.

【构建模型】

平行四边形提供了一组平行线，已知一条线段的中点，可构成中点型全等三角形. （如图1）

基本模型1：如图2，已知AC = CB， AD[⫽]BE，则△ACD ≌ △BCE.

基本模型2：如图3，已知AD是△ABC的中线， AB[⫽]CE，则△ABD ≌ △ECD.

【应用模型】

1.中点在平行四边形的边上

例1（2020·浙江·绍兴）如图4，点E是[▱]ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.（1）若AD的长为2，求CF的长.（2）若∠BAF = 90°，试添加一个条件，写出在该条件下∠F的度数.

解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]CF，

∴∠DAE = ∠CFE，∠ADE = ∠FCE，

∵[∠DAE=∠CFE]，[∠ADE=∠FCE]，[DE=CE]，

∴△ADE ≌ △FCE（AAS），∴AD = CF，∵AD = 2，∴CF = 2.

（2）若∠BAF = 90°，当∠B = 60°时，∠F = 90° - 60° = 30°（答案不唯一）.

2.中点在平行四边形的对角线上

例2（2020·江苏·淮安）如图5，在[▱]ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO = CO.（1）求证：△AOF ≌ △COE;（2）连接AE，CF，则四边形AECF （填“是”或“不是”）平行四边形.

解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]BC，∴∠OAF = ∠OCE，

∵[OA=OC]，[∠AOF=∠COE]，∴△AOF ≌ △COE（ASA）.

（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF ≌ △COE，∴FO = EO，

∵AO = CO，∴四边形AECF是平行四边形. 故应填“是”.

例3（2020·四川·广元）已知O为[▱]ABCD的对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F.（1）求证：△AOE ≌ △COF;（2）若AE ∶ AD = 1 ∶ 2，△AOE的面积为2，求[▱]ABCD的面积.

解析：（1）如图6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD[⫽]BC，∴∠EAO = ∠FCO，

∵OA = OC，[∠EAO=∠FCO]，[∠AOE=∠COF]，∴△AOE ≌ △COF（ASA）.

（2）如图7，过点O作GH[⫽]BC，分别交AB，CD于点G，H，连接OD，

易证四边形AGOE、四边形EOHD、四边形AGHD、四边形BCHG都是平行四边形，

∵AE ∶ AD = 1 ∶ 2，∴AE = ED，∴[S△AOE=S△DOE] = 2，∴△AOD的面積为4，

∴[▱]AGHD的面积为8，∴[▱]ABCD的面积为16.

3.构造对角线的中点

例4（2020·湖北·孝感）如图8，在[▱]ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE = DF. 连接EF，分别与BC，AD交于点G，H. 求证：EG = FH.

解析：连接AC，交EF于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB[⫽]CD，AB = CD，∴∠E = ∠F，

∵BE = DF，∴AE = CF. ∵[∠AOE=∠COF]，∴△AOE ≌ △COF（AAS），

∴OA = OC，OE = OF，

同理可证△AOH ≌ △COG， ∴OH = OG，

∴OE - OG = OF - OH，即EG = FH.

4.中点在平行四边形外

例5（2020·天津）如图9，[▱]ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG. 若AD = 3，AB = CF = 2，则CG的长为 .

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD = BC，CD = AB，DC[⫽]AB，

∵AD = 3，AB = CF = 2，∴CD = 2，BC = 3，∴BF = BC + CF = 5，

∵△BEF是等边三角形，∴BE = BF = 5，

延长CG交BE于H，∵DC[⫽]AB，∴∠CDG = ∠HEG，

∵[∠DGC=∠EGH]，DG = EG，∴△DCG ≌ △EHG（ASA），

∴DC = EH，CG = HG，∵CD = 2，BE = 5，∴HE = 2，BH = 3，

∵∠CBH = 60°，BC = BH = 3，∴△CBH是等边三角形，

∴CH = BC = 3，∴CG [=12]CH [=32]. 故应填[32].