对卫星机械能大小的深度研究

王小庆

摘   要：比较卫星机械能大小的问题，是高考中的高频考点。各省考查的主要是单颗卫星变轨时机械能大小的变化，对于多个卫星机械能大小的比较虽然暂时还没考过，但是，选择无穷远处为零势能平面的高考题已经多次出现。对动能、重力势能具有相对性的深度分析，可以得出重要结论，那就是比较两颗卫星机械能大小的关系时，考虑到卫星飞行的实际高度，只有选择无穷远处为参考平面才是正确的分析方法。

关键词：零势能面;机械能的相对性;卫星势能

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）8-0061-3

1    引  言

近几年高考试题中，常考卫星机械能大小的相关问题。然而在这个问题上，关于卫星势能大小的计算，存在诸多争论。经过调查，绝大部分物理教师没有从根本上理解问题所在，造成了在课堂上无法正确讲解，给学生造成物理观念上的困扰。本文对此类问题进行深入分析，为解决不同卫星在天上运行时机械能大小的比较问题提出有效方法。

首先，让我们来看一个问题[1]，如图1所示，假设两颗人造卫星A和B都绕地球做匀速圆周运动，其质量之比为mA∶mB=1∶4，周期之比为TA∶TB=1∶8，那么，卫星A和卫星B的机械能大小关系如何呢？

通过简单的计算，我们可以得出两颗卫星的轨道半径之比为rA：rB=1：4，速度之比为vA：vB=2∶1。根据机械能等于动能和重力势能之和，从常规思路分析可以得知，两颗卫星的动能相等，卫星B质量大，且距地球表面的高度大，卫星B的重力势能比卫星A的重力势能大，故而，卫星B的机械能大。这种情况是以地球表面为零势能平面为前提的，重力势能计算式为常用公式EP=mgh。但是，我们也常将无穷远处规定为零势能点，此时，重力势能的表达式为EP=-G，将已知条件m和r代入公式，可得两颗卫星的重力势能大小是相等的，且动能也相同，从而，得到了第二种结论，即两颗卫星的机械能一样大。

对于以上两种情况，到底是机械能相等，还是卫星B的机械能大呢？接下来，我们将进行深度探究。

2    选取不同零势能参考平面重力势能的相应表达式

首先，我们来看势能的定义，将物体从某一位置移动到零势能点，重力所做的功，即为该点的势能值。

若选择无穷远处为零势能平面，将一个质量为m的物体从距地心为r处移动到无穷远处，万有引力所做的功，即为物体在r处所具有的重力势能，其大小为：

若选择地球表面为零势能平面，设地球的半径为R，物体距地面的高度为h，将物体从距地心r=R+h处移动到地球表面，重力做的功，即为物体在距地面h处所具有的重力势能（图2），其大小为：

分析上式可知，当h<

EP=mgh（4）

该公式中所有势能值均为正值[2]。

于是，卫星在天空运行时，根据（1）（5）及（2）（5）式，分别选取无穷远处和地面为参考平面的机械能的表达式各自为：

再回到本文开始提出的问题，卫星A和卫星B的机械能等于动能和重力势能之和，在动能相同的条件下，重力势能到底该取（1）式还是（4）式呢？已知卫星A和卫星B距地心的距离为1：4，若卫星A贴地飞行，rA=R，rB=4R，由此可知，卫星B距地面的距离h=3R，不满足（3）式中h<

3    动能和势能相对性的深度分析

动能和势能是状态量，它们都具有相对性，选择不同的参考系，它们的数值大小是不同的。接下来，我们分析一下两个物体动能的大小关系。

如图3所示，有两个质量都是m的木块在光滑的足够长的木板上滑动，A木块向左匀速运动，B木块向右匀速运动，速度大小都是v，若长木板也向右以速度v做匀速直线运动，那么，哪个木块的动能大呢？

如果选取地面为参考系，两个木块相对于地面的速度都是v，可知两个木块的动能是相等的。如果选择长木板为参考系，则A木块相对于长木板的速度为2v，B木块相对于长木板的速度为零，可知A木块的动能大，B木块的动能小。

现将木块的动能和卫星的势能综合分析，通过以上条件，计算结果列入表1。

综合分析可知，动能具有相对性，势能具有相对性，机械能等于动能和势能之和，机械能也具有相对性。选取不同的参考系，两个物体的相对动能的大小是不同的，重力势能的大小也是不同的，如果比较两个物体的机械能、动能和势能，一定要选取同一参考系，否则，得出的结果是不一样的。

也有很多教师对以上分析提出质疑，认为上面的结果违反了爱因斯坦的相对论原理，即在惯性参考系中，所有物理规律是一样的，不会随着参考系的改變而产生不同的结果。其实，这是对相对论原理的误解，在惯性参考系中物理规律相同指的是物理公式的表达形式是一样的，就像表1中所示，无论选择地面为参考系还是选择其他平面为参考系，动能和势能的表达式并没有发生本质的改变，其内在形式还是保持了原来的一致性。

若有两个长均为L0的金属棒，相互垂直放置在传输带上，金属棒和传输带一起以速度v向右做匀速直线运动，俯视图如图4所示。

若以传输带为参考系，金属棒相对于传输带静止不动，其静止长度均为L0，A和B金属棒长度相等;若以地面为参考系，金属棒相对于地面向右做匀速直线运动，根据相对论可知，在运动方向上，相对长度会变短，即A金属棒的长度不变，B金属棒的长度会变短，A金属棒的相对长度比B金属棒的相对长度大，如表2所示。

通过以上分析可知，选取不同的参考系，相同的两根金属棒的长度是不同的，比较两个物体的相对长度，还是要选取相同的参考平面。这再次证明了卫星机械能的相对性、重力势能的相对性与相对论并不矛盾，比较不同卫星机械能大小时，选取不同的参考平面，其结果是不同的。

4    结束语

比较卫星机械能大小的问题，是高考中的高频考点，各省考查的主要是单颗卫星变轨时机械能大小的变化。对于多个卫星机械能大小的比较虽然暂时还没考过，但是，选择无穷远处为零势能平面的高考题已经多次出现。通过本文对重力势能的深度分析，可以得出重要结论，那就是若比较两颗卫星势能大小关系，根据卫星实际飞行的高度，只有选择无穷远处为参考平面才是正确的分析方法。希望本文给还有困惑的一线教师提供一个思路，提高自己对动能、势能和机械能的认识，真正做到用物理思维去探究物理难题，真正做到对学科的深度学习。

参考文献：

[1]李书.分析卫星速度变化的两条途径[J].物理教师，2000，21（05）：42.

[2]王文.浅谈-G（Mm）/r和mgh的区别及联系[J].中学物理教学参考，2014，43（05）：16-17.

（栏目编辑    罗琬华）