相对论原理下质心系的应用

李鲁淼

摘   要：在经典力学中，研究质点组的问题时，为了简化问题的研究，往往会选择质心参考系，尤其是孤立的质点组就更为方便了。在实验系中质点组的总动能为各质点相对于质心系的动能与质心动能之和（柯西尼定理）;而在质心系中质点组的总动能即为各质点相对于质心系的动能，孤立质点组的质心的动能不参与作用。在近代高能物理中为了研究微观粒子的结构和相互作用以及反应机制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去撞击静止靶中的粒子，以观测反应的结果，与理论互相印证。然而，在实验室参考系中参与粒子间的反应，真正有用的能量是高能粒子与靶粒子之间的相对动能，也就是质点组在质心系中的动能，亦为资用能。在高能物理学中，粒子遵循相对论原理，下面就在相对论原理下对质点组的问题进行研究。

关键词：质心系;资用能;相对论

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）8-0058-3

1    相对论下质点组在质心系中的总动量、总能量、总资用能

以两微观粒子碰撞为例，静止质量分别为m1，m2的两个微观粒子，以速度v1，v2发生对心碰撞，两粒子质心的速度：

两粒子在质心系中的速度分别为：

在质心系中的总动量：

所以，在质心系中两粒子的总动量仍为零。

两粒子在质心系中的总能量：

两粒子在质心系中的资用能：

这些规律也可以推广至多个微观粒子之间的相互作用。有了以上的结论就可以很方便地分析微观粒子之间以及光子与微观粒子之间相互作用的关系。

2    从三个方面的问题阐述质心系在相对论中的妙用

2.1    为什么高能物理中粒子都采用对撞的方式来释放高能量

两个相同质量的粒子，静止质量都为m0，若将其中一粒子通过粒子加速器加速到能量为E，与另一静止的粒子发生碰撞，可以释放出来的最大能量对应的状态是两粒子碰后在质心系中无运动。

将m1=m0， m2=m0， β1=β， β2=0，代入（2）（3）两式得：

能释放的最大能量（资用能）为：

若采用对撞方式，β1=-β2=β，v1c=v2c=βc

碰撞可以释放出来的最大能量也是碰后粒子在质心系中无运动。

以欧洲核子研究中心的大型强子对撞机为例，质子可以被加速至3.5万亿电子伏特，成功相撞后，释放出来的最大资用能，采用对撞方式是第一种碰撞方式的266倍。所以，采用对撞方式能释放出更高的能量，就能产生更多的新粒子。

2.2    两体反应的阈能

在高能物理中，经常通过碰撞释放的能量来产生新的粒子，从而建立新的物理模型。最著名的一次就是2012年7月欧洲核子研究中心通过的能量高达8 TeV强子对撞，探寻到希格斯粒子，帮助科学家建立新的粒子物理的标准模型。

利用加速器使A1，A2两粒子加速对撞，以产生某个或某些静止质量为M0的新粒子A3，A1+A2→A1+A2+A3，这是一类典型的粒子反应。当对撞后在质心系中所有产物都静止时，对应的A1，A2所需的能量称为反应的阈能。

高能入射质子轰击静止的质子（靶质子），可产生反质子p，反应式为：p+p→p+p+p+p，求能产生反质子时入射质子的阈能。

在质心系中：

资用能恰好为产生两质子的静能：

所以，利用质心系的质点组的最小能量是非常容易得到系统反应的阈能。

2.3    散射角分布的问题

在粒子反应的过程中，末态粒子运动方向的角分布是实验中一个重要的观测量（图1）。在实验系中遵循动量、能量守恒，但方程求解一般较为繁琐。如果能先转换到质心系，反应后末态粒子运动方向角分布是各向同性的，再利用速度或动量洛伦兹变换转换到实验系就会比较方便。

质子的静止质量为m0，静能量为E0，一个质子A以3E0的总能量沿着x轴方向撞向另一个静止的质子B，分析碰撞后质子A动量可能的方向。

质子A的动量和速度分别为：

质心系中A，B质子的速度和动量分别为：

若碰撞为弹性碰撞，作用后在质心系中：pAcx=pAccosθ，pAcy=pAcsinθ，如图1所示，是以pAc为半径的球分布。再利用洛伦兹动量变换公式将两个方向的动量进行转换：

在实验系中x和y方向的动量分别为：

按照vc小于、等于、大于vAc应分三种情形：

（1）vc

（2）vc=vAc情形如图3所示，椭球在原点与yz平面相切，所有粒子都在朝前方2π的立体角内运动。

（3）vc>vAc情形如图4所示，原点在椭球之外，从原点作椭球的切线，与x轴的夹角θmax是上限，全部粒子集中在以θmax为半顶角的圆锥形立体角内运动。

关于散射问题的另一个重要的现象就是康普顿效应，一般都在实验系中研究，由能量守恒和动量守恒得到康普顿散射公式：Δλ=λ-λ0=1-cosφ），其中Δλ是散射光与入射光波长的变化量，m0为静止电子的质量，φ为实验系中散射光子与入射光子的夹角，称为散射角。

下面我们同样在质心系中进行研究，设入射光子的能量E=hν0，静止电子质量仍设为m0，质心的速度v由光速不变性原理在质心系中光子的速度仍为c，根据相对论中多普勒效应，光子在质心系中的频率ν1。康普顿效应在质心系中为弹性碰撞，碰后光子和电子的动量、能量大小不改变，方向相反。设碰后出射光子在实验系中与x轴夹角为φ，如图5所示，利用多普勒效应将出射光子由质心系中转换到实验系，出射光子在实验系中频率为：

整理得：

综上所述，质心系不仅在经典力学中有着广泛的应用，在相对论原理下同样也可以让各种问题处理得很巧妙，从而回避一些复杂的能量守恒、动量守恒的方程计算。从更高的层面讲，我们平时看待物理现象的时候，一定要多角度、多维度地看问题，打破常规束缚，解放固化思维，寻找新的突破。

参考文献：

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学[M].北京：高等教育出版社，2004.

（栏目编辑    罗琬华）