如何判断物体是否空心

黄继奎

判断物体是否空心的问题能有效考查同学们对密度概念的理解，以及利用密度知识解决实际问题的能力，因此成为提升同学们科学思维的经典题型。下面对此类问题归类剖析。

一、定量计算型

例1 已知铁的密度ρ铁=7.9 × 103 kg/m3。小聪同学为了判断一个小铁球是否空心，他利用天平测出铁球的质量，然后利用排水法测出小铁球完全浸没在量筒内前后的体积，实验数据如下表。请判断小铁球是空心的还是实心的，写出依据;若是空心的，求出空心部分体积。

[铁球的质量m/g 水的体积V水/mL 水和铁球的总体积V总/mL 79 60 85 ]

[思路点拨

]

解决本题的关键是判断物体是否空心，判断方法有以下三种：（1）比较密度法：根据铁球的质量和体积，利用[ρ=mV]求出铁球的密度为[ρ球]，然后与[ρ铁]相比较，若[ρ球=ρ铁]则为实心，若[ρ球<ρ铁]则为空心;（2）比较体积法：假设铁球是实心的，根据铁球的质量和铁的密度，利用[V=mρ]求出铁球中铁的体积为[V铁]，然后与[V球]相比较，若[V铁=V球]则为实心，若[V铁<V球]则为空心;（3）比较质量法：假设铁球是实心的，根据铁球的体积和铁的密度，利用[m=ρV]求出铁球的质量为[m球]，然后与[m铁]相比较，若[m球=m铁]则为实心，若[m球>m铁]则为空心。

解法一：比较密度法

（1）由表格中的数据可知：V球=V总 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，铁球的密度为：[ρ球=m球V球=79 g25 cm3=3.16 g/cm3]，由于铁的密度[ρ铁=7.9×103 kg/m3=7.9 g/cm3]，即[ρ球<ρ铁]，所以铁球是空心的;（2）空心部分的体积：V空心=V球 - V铁=V球 - [m铁ρ铁]  =  25 cm3 - [79 g7.9 g/cm3] = 25 cm3 - 10 cm3=15 cm3。

解法二：比较体积法

（1）由表格中的数据可知：V球=V总 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，假设铁球是实心的，铁球中铁的体积：[V铁=m铁ρ铁=79 g7.9 g/cm3=10 cm3] < 25 cm3，即V铁

解法三：比较质量法

（1）由表格中的数据可知：V球=V总 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，假设球是实心的，铁球的质量为：[m球=ρ铁V球=7.9 g/cm3×25 cm3=197.5 g>79 g]，即[m球>m铁]，所以铁球是空心的;（2）空心部分的体积：V空心=V球 - V铁=V球 - [m铁ρ铁]  =  25 cm3 - [79 g7.9 g/cm3] = 25 cm3 - 10 cm3=15 cm3。

[能力提升

]

一个体积为3000 cm3的铜球质量为17.8 kg，它是实心还是空心的？如果是空心的，空心部分的体积为多大？若在铜球的空心部分注满水，球的总质量是多少？（铜的密度为8.9 × 103 kg/m3）

答案：该铜球是空心的 空心部分的体积为1000 cm3 若在铜球的空心部分注满水，球的总质量是18.8 kg

二、定性比较型

例2 质量、体积都相同的铝球、铁球和铜球，已知ρ铜>ρ铁>ρ铝，则下列说法正确的是（ ）。

A. 若铝球是实心的，则铜球、铁球一定是空心的

B. 若铜球是实心的，则铝球、铁球一定是空心的

C. 若铁球是实心的，则铝球、铜球一定是空心的

D. 铝球、铁球和铜球都可能是空心的

[思路点拨

]

在三球外形、体积和质量都相同的情况下，判断它们是实心还是空心的方法有两种：（1）根据密度的物理意義判断：密度是表示构成物质的疏密程度的物理量，不同物质的疏密程度一般不同，若三球的平均密度相等，则密度大的物质构成的球一定是空心的;（2）比较质量或体积法：假设三球都是实心的，利用密度公式变形可比较出三球的实际体积或实际质量大小，然后结合题设条件判断。

解法一：密度概念判断法

三球的质量和体积相等，根据[ρ=mV]可知三球的密度相同。由于铝的密度最小，则密度较大的铜和铁构成的球一定是空心的，铝球可能是实心的也可能是空心的。故选AD。

解法二：比较质量或体积法

（1）假设三球都是实心的，根据[m=ρV]可知，在三球体积相同时，球体的质量跟物质的密度成正比，铜的密度最大，则铜球的质量最大。由于三球的质量相同，则铜球和铁球一定是空心的，铝球可实可空。故选AD。（2）假设三球都是实心的，根据[V=mρ]可知，在三球质量相同时，球体的体积跟物质的密度成反比，铝的密度最小，则铝球的体积最大。由于三球的体积相同，则铜球和铁球一定是空心的，铝球可实可空。故选AD。

[能力提升

]

三个体积、质量都相同的空心铜球、铁球和铝球（已知ρ铜>ρ铁>ρ铝），其中空心部分体积最大的是（ ）。

A. 铜球 B. 铁球 C. 铝球 D. 无法判断

答案：A