平行砂轮磨削圆弧头立铣刀后刀面的轨迹算法*

2021-09-09马忠宝

制造技术与机床 2021年9期

唐军马忠宝罗斌江磊

(西南交通大学机械工程学院，四川成都 610031)

圆弧头立铣刀作为整体式立铣刀的一种类型，广泛应用于复杂形状零件的自由曲面加工制造，具有材料切除速率高和加工表面质量好的优点[1-2]。圆弧头后刀面是圆弧头立铣刀关键的结构之一，主要用于减少刀具和工件之间的摩擦，对刀具的使用寿命影响极大[3]。其磨削工艺的加工质量将直接影响圆弧头立铣刀刃线和回转轮廓的精度。立铣刀后刀面按刀具结构分为周刃后刀面和端刃后刀面。对于周刃后刀面，Pham T T等[4]根据形状不同分为平面型、偏心型和凹面型3种形式，其中偏心型后刀面具有较大的刀尖角，刀尖强度大，具有良好的切削性能和加工表面质量[5]。平面型后刀面刃口强度介于凹面型和偏心型之间，应用最为普遍。李国超等[6]对上述3种形式的后刀面进行了刃磨工艺分析，给出了3种周刃后刀面刃磨砂轮初始姿态的求解模型；孙长富等[7]利用端截面游动坐标系法和几何描述法对周刃平面型后刀面进行了建模计算；李光业等[8]描述了用碗形砂轮端面和平行砂轮周边分别磨削周刃平面型后刀面的加工工艺分析，给出了磨削时砂轮刀位数学模型。针对端刃后刀面，刘建军等[9]基于提出的圆弧头通用刃线数学模型，研究了立铣刀端齿后刀面的磨削加工工艺分析并计算出了砂轮的运动轨迹和轴矢量；张潇然等[10]针对圆弧头立铣刀端齿后刀面后角和宽度的约束等问题，定义了一种后刀面约束曲线实现对端齿后角及后刀面宽度的控制。综上，目前的磨削工艺主要侧重于采用碗形砂轮端面进行平面型后刀面磨削，且对端刃和周刃后刀面磨削工艺研究是分段进行的，导致刀刃连接区域不光滑。

针对上述问题，本文研究了采用平行砂轮圆周面作为磨削区域的磨削工艺，并提出了周刃和端刃连续加工的圆弧头立铣刀后刀面磨削轨迹算法。该算法不仅可加工周刃偏心型后刀面，而且通过周刃和端刃后刀面的磨削姿态连续变换，保证了后刀面的光滑过渡，提高了磨削加工效率、表面质量和精度。

1 圆弧头立铣刀刀刃曲线建模

1.1 周刃建模

周刃刀刃曲线模型在许多文献中均有描述[11-12]。本文建立以刀具回转轴为Zw轴，以周刃起点所在的端面为XwOwYw平面，圆心为原点Ow的工件坐标系Ow-XwYwZw，如图1所示。以Zw轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P0坐标可表达为

(1)

式中：Rw为刀具回转半径；Lw为周刃长度；φ(z)表示点P0相对于Xw轴绕Zw轴的回转角度。

1.2 端刃建模

建立以刀具回转轴为Zd轴，以圆弧回转体的底面为XdOdYd平面，以其圆心为原点Od的端刃坐标系Od-XdYdZd。则其转换到工件坐标系的变换矩阵Td-w为：

(2)

本文将端刃曲线分为3个部分，分别在端刃坐标系下进行描述：

(1)圆弧回转面曲线部分

定义为由圆弧回转面与非正交螺旋面求交线获得的曲线P0dP1d，如图2所示。则该段曲线上刀刃点P0坐标可表达为：

(3)

式中：自变量θ为纬度角；R为圆弧中心距；r为端刃圆弧半径；φr(θ)表示刀刃点P0处回转角。

(2)平面曲线部分

定义为在平面M上的一段圆弧曲线P1dP2d。如图3所示。由式(3)可得圆弧回转面末点P1d的坐标表达式，则该段曲线上刀刃点P0坐标可表达为：

(4)

式中：φh为表示平面M与Xd轴的夹角；η为直线刃内倾角。

(3)直线刃部分

定义为在平面M上的一直线段P2dP3d，如图3所示。根据公式(4)可得平面曲线末点P2d的坐标表达式和切矢量Fp，引入自变量t，则该段曲线刀刃点P0坐标可表达为：

PP0d=PP2d+t·FP,0≤t≤lh0

(5)

式中：lh0为端刃直线刃长度。

1.3 后刀面坐标系及转换

为了方便描述后刀面几何参数和计算磨削轨迹，本文根据刀刃曲线模型，定义如下坐标系：

(1)周刃坐标系

定义为跟随周刃的活动坐标系Om-XmYmZm，如图1所示。其以周刃曲线上的点P0为坐标原点Om，以点P0对应的回转体母线切线为Zm轴，以点P0对应的圆周切线为Ym轴。则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵Tm-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)。

(2)圆弧回转面坐标系

定义为跟随圆弧回转面曲线的活动坐标系Omt-XmtYmtZmt，如图2所示。其以圆弧回转面曲线上的点P0为坐标原点Omt，以点P0对应的回转体母线切线为Zmt轴，以点P0对应的圆周切线为Ymt轴。则有圆弧回转面坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵Tmt-d为：

(7)

式中:自变量θ的取值范围同公式(3)。

(3)平面曲线坐标系

定义为跟随平面曲线的活动坐标系Ots-XtsYtsZts，如图3所示。其为将圆弧回转面曲线末点的坐标系Omt-XmtYmtZmt绕Ymt轴旋转刀刃点P0对应的角度t，然后平移到平面曲线上的P0点得到。其中t的取值范围为[0,η]。则有平面曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵Tts-d为：

(8)

式中:自变量θ的取值范围同公式(4)。

(4)直线刃坐标系

定义为跟随直线刃的活动坐标系Oms-XmsYmsZms，如图4所示。其以直线刃磨削点P0为坐标原点Oms，Zms轴以平行于平面曲线末点的Zts轴，Yms轴平行于平面曲线末点的Yts轴。则有直线刃坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵Tms-d为：

(9)

式中：自变量t的取值范围同式(5)。

2 砂轮磨削后刀面轨迹计算

2.1 砂轮磨削姿态定义

为了方便计算和保证磨削的连续性，周刃和端刃后刀面的砂轮磨削姿态均根据刀刃曲线建模定义在对应的坐标系下。

(1)周刃偏心型后刀面的磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理[6]，令砂轮圆心Og在平面XmZm内，定义砂轮端面在平面XmZm内的投影与Xm轴的夹角为α(其由螺旋角β和周刃后角λm决定)，如图5所示。

(2)端刃圆弧回转面后刀面的磨削姿态

如图5所示，令砂轮圆心Og在位于平面XmtZmt内，定义砂轮圆周面在平面XmtZmt内的投影与Zmt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面XmtYmt内的投影与Ymt轴的夹角为圆弧回转面后角λmt。

(3)端刃平面曲线和直线刃后刀面的磨削姿态

针对端刃平面曲线后刀面，令砂轮圆心Og位于Zts轴上，并且砂轮端面在平面XtsYts内的投影与Yts轴的夹角为平面曲线后角λts。

同理，针对直线刃后刀面，令砂轮圆心Og位于Zms轴上，并且砂轮端面在平面XmsYms内的投影与Yms轴的夹角为直线刃后角λms，如图6所示。

2.2 后刀面连接处的砂轮磨削姿态过渡

根据上述磨削姿态定义可知，周刃和圆弧回转面后刀面部分砂轮磨削姿态不一致。因此为了保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡。周刃末点即为端刃起点，该点处的周刃坐标系与圆弧回转面坐标系重合。因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面XmtZmt内的投影与Xmt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面XmtYmt内的投影与Ymt轴的夹角逐渐从零变化到圆弧回转面后角λmt。如图7所示。

2.3 砂轮磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标Og和砂轮轴矢量Fg的计算。为了便于加工，可应用公式(2)和公式(6) ～ (9)将砂轮轨迹转换到工件坐标系下表达。

(1)周刃后刀面

根据磨削姿态定义，并考虑到周刃到圆弧回转面部分后刀面的过渡设置，可得在砂轮端圆中心点Og在周刃坐标系下的坐标可表达为：

Og_m=

(10)

式中：Rg为砂轮端圆半径。

其砂轮轴矢量Fg在周刃坐标系下可表达为：

Fg_m=

(11)

(2)圆弧回转面部分后刀面

根据砂轮磨削圆弧回转面后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点Og在圆弧回转面坐标系下可表达为：

(12)

其砂轮轴矢量Fg在圆弧回转面坐标系下可表达为：

(13)

(3)平面曲线部分后刀面

根据砂轮磨削平面曲线后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点Og在平面曲线坐标系下可表达为：

(14)

其砂轮轴矢量Fg在平面曲线坐标系下可表达为：

(15)

(4)直线刃部分后刀面

定义直线刃后刀面的法矢为Fg0。当磨削直线刃部分后刀面时，为了防止砂轮与其他刀刃发生干涉，砂轮可绕矢量Fg0旋转砂轮摆角μ。添加砂轮摆角后，砂轮轴矢量不变，同时对砂轮摆角μ进行线性过渡保证连续性，其表达为：

(16)

则砂轮端圆中心点Og坐标在直线刃坐标系下可表达为

(17)

其砂轮轴矢量Fg在直线刃坐标系下可表达为：

(18)

3 算法验证

为了验算所提出的砂轮磨削轨迹算法，本文进行了如图8所示的流程验证。其中圆弧头后刀面砂轮磨削轨迹的计算和机床NC程序的获取，是在VC++环境开发一套算法模块来实现的。输入圆弧头后刀面相关几何参数和工艺参数，根据提出的砂轮磨削轨迹算法，输出其刀位轨迹文件；再以刀位轨迹文件为输入，根据坐标变换进行后置处理，输出数控机床的NC程序。其后置处理过程本文由于篇幅省略。

三维仿真则使用Vericut8.0来实现，选择四刃圆弧头立铣刀进行磨削轨迹仿真，其仿真数据及结果如表1～2。