偏差补偿稀疏自适应滤波算法

2021-09-03李立立

微处理机 2021年4期

李立立，郭莹

（沈阳工业大学信息科学与工程学院，沈阳 110870）

1 引言

在例如回声信道[1-2]等许多实际环境中，信道具有一定的稀疏性，即信道中大部分系数都为零。受到压缩感知等稀疏理论的启发[3-7]，研究者们基于范数约束，提出自适应滤波算法——零吸引最小均方算法[8]（Zero Attraction Least Mean Square algorithm,ZA-LMS），在标准的LMS 算法的代价函数中加入权系数的l1范数，对权系数施加向零吸引的力，在迭代时修正权系数，因此加快了算法的收敛速度。虽然ZA-LMS 算法具有良好的性能，但是未考虑到输入信号受噪声干扰的情况，从而导致ZA-LMS 算法在迭代时会出现估计结果的偏差。为解决这一问题，一些相关算法被提出，如：偏差补偿归一化LMS（Bias-compensated normalised LMS algorithm,BCNLMS）[9]，偏置补偿零吸引NLMS（Bias-compensated zero attracting normalized LMS algorithm,BC-ZANLMS）[10]等。基于已有的研究，在此将ZA-LMS 算法与无偏估计相结合，提出偏差补偿稀疏自适应滤波算法，以求实现更低的稳态误差、更快的收敛速度和更好的跟踪性。

2 相关算法

2.1 LMS 算法

所提出的自适应滤波器基本结构框图如图1 所示。图中，n为算法的迭代次数；L为滤波器阶数；x(n)是输入信号；d(n)是期望信号；e(n)表示期望信号与滤波器的输出信号之间的误差；z(n)是均值为0、方差为σz2且独立于任何信号的加性高斯白噪声；η(n)是输入信号中存在的噪声。

图1 自适应滤波器结构

输出信号y(n)表示为：

其中，x(n)=［x(n),x(n-1),...,x(n-L垣1)］T为输入信号向量，w (n)=［ww(n),ww(n-1),...,ww(n-L垣1)］T为权系数向量，上标T是转置符号。

期望信号d(n)为：

其中w*为最优权系数。

在第n时刻，期望信号d(n)和输出信号y(n)之间的输出误差e(n)为：

LMS 算法的更新方程则为：

其中，μ是控制收敛速度和稳态的步长。

2.2 ZA-LMS 算法

ZA-LMS 算法是在LMS 算法代价函数的基础上，为了改善标准LMS 算法的性能，增加了权系数的l1范数：

其中，λ是正常量，用于控制范数的平衡因子。

利用梯度下降法，ZA-LMS 算法的更新方程为：

其中，ρ=μλ，sgn[.]是符号函数，定义为：

上述ZA-LMS 算法是基于l1范数约束的自适应滤波算法，在稀疏系统中可以加快算法的收敛速度，但是当输入信号受到噪声干扰时精度会下降。为了解决这个问题，在此提出一种偏差补偿稀疏自适应滤波算法。

3 偏差补偿稀疏自适应滤波算法

3.1 无偏准则

在某些实际应用中，输入信号x(n)被噪声η(n)破坏。按照图1 的结构，重新定义输入信号为：

其中，η(n)=［η(n),η(n-1),...,η(n-L垣1)］T为输入噪声，其均值为0 且方差为ση2。

因此，重新定义误差函数：

定义权系数误差向量w～(n)为滤波器权系数w(n)和w*之间的差：

理想的情况是在稳态下权系数误差向量w～(n)接近零，即w(n)趋近于w*。因此，当算法处于稳定状态时，应满足下式：

式(11)被称为无偏准则，在稳态情况下是有意义的。

3.2 CZA-LMS 算法

当输入信号受到噪声干扰时，使用式(4)进行参数估计会给算法带来偏差，因此，为了减小输入噪声产生的影响，在式(4)中添加偏置补偿矢量C(n)：

由于C(n)只与输入噪声有关，因此对该补偿项进行推导时去掉sgn 项。将式(12)两侧减w*，并求期望，其递推方程可表示为：

使用无偏准则推导偏置补偿向量C(n)，将式(11)代入式(13)，得到偏置补偿矢量C(n)的条件如下：

计算式(14)左侧，并假设z(n)，η(n)，x(n)均与w(n)统计独立：

将式(15)代入式(14)，可以得到偏差补偿矢量：

因此，新算法的更新方程为：

4 仿真实验

为进一步证明算法的有效性，在不同的条件下，对LMS、ZA-LMS 和CZA-LMS 算法进行仿真实验。实验分两部分进行：实验1 是在输入信号受到噪声干扰的情况下，对各个算法的收敛性能做出比较；实验2 是在实验1 的基础上增加了未知系统的时变的环境，以此来模拟更为接近真实的环境，验证各个算法的跟踪性能。