基于波动率角度的中国铜期货期权定价研究

马庆华 郑启佳

（1，广东外语外贸大学数学与统计学院，广东 广州 510006，2.广东外语外贸大学金融学院，广东 广州 510006）

截至目前，我国铜期货期权研究有关文献非常少。而期权定价作为期权交易中最关键的一部分，其重要性也不言而喻。在定价模型上，最为经典的有BS期权定价模型，我国很多文献也都简单地使用BS模型对期权进行定价。BS模型中涉及的假设条件在真实市场往往很难实现。因此，从波动率的角度综合定价模型来对期权进行定价可能使得定价结果有更好的表现。

一、文献综述

我国现有文献几乎没有关于沪铜期货期权的定价研究，而且学者通常是定价模型上进行优化从而得出更优的定价效果。甚少有对波动率进行研究的，而波动率是期权定价模型中的最核心的参数之一。因此，从波动率的角度出发，研究不同的波动率模型拟合并预测得到波动率序列，并通过蒙特卡罗法进行模拟定价可能会得出更好定价结果，具有较大的现实意义与应用价值。

二、波动率模型构建与期权定价实证分析

1.GARCH族模型

本文采取的是对数收益率的方式对铜期货日收益率进行分析，由对数收益率的时序图可以看到铜期货日收益率存在明显的波动率聚集现象。

由表1结果得知，误差服从自由度为6的t分布的GARCH模型具有最小的AIC与SC值，因此GARCH-t（6）拟合效果更好，因此下文中我们将默认所有GARCH族模型的误差项都服从自由度为6的t分布。

表1 误差项分从不同分布GARCH模型参数p值及AIC，SC值

接下对GARCH模型进行定阶，即确定GARCH（p，q）模型中的p、q的最优值。通过建立GARCH（1，1）、GARCH（1，2）和GARCH（2，1）模型，对AIC与SC值大小做一个比较，得出最优阶模型。

由于GARCH模型在实际的应用中存在着局限性，模型中对正面的消息与负面的消息所带来的的影响视为相同的，它只能解释金融资产收益率序列波动中的对称现象，而无法处理非对称的波动。现实的铜期货市场通常收益率波动并非对称的，由于投资者的避险心理，同等程度的利空冲击往往比利好能带来更大的方差波动。因此本文也考虑了用T-GARCH来描述铜期货收益率波动中的非对称效应。

同样，我们也对T-GARCH模型进行定阶处理，建立T-GARCH（1，1）、T-GARCH（1，2）和T-GARCH（2，1）并与上述所得GARCH（p，q）做整合对比。

由表2可以得到，只有GARCH（1，1）与T-GARCH（1，1）方程的参数都通过了显著性检验，杠杆系数γ1在10%的显著性水平上显著，说明沪铜期货市场存在杠杆现象。

表2 t（6）分布下GARCH族模型参数估计p值

根据表3的结果可得T-GARCH（1，1）模型为：

表3 T-GARCH（1，1）模型参数估计结果

对T-GARCH（1，1）构造的方差方程的残差序列进行ARCHLM检验，检验结果如表4所示，说明T-GARCH构建的方差方程消除了残差序列的条件异方差，利用T-GARCH对波动率进行建模是可行的。

表4 T-GARCH（1，1）的ARCH-LM检验结果

下面考虑使用T-GARCH模型来预测2019年1月2日后的122个交易日的波动率序列{δi}，由于122个交易日时间较长，考虑到较远日期的波动率预测结果可能会不准确，本文对波动率的预测采取每隔一个月滚动一次的方式进行预测。具体步骤为：首先，采用的铜期货价格数据期间为2016年1月4号到2019年1月02号，估计出模型参数，建立T-GARCH模型并估计出未来一个月的波动率；第一次估计完成后，对铜期货价格序列进行更新，将该月的价格数据纳入原样本，并重新进行模型参数估计与预测，预测时间的起点为新一月的首个交易日；整个过程不断重复直到最后一个月的首个交易日结束，总共滚动估计模型6次。

2. SV族模型

本文将使用OpenBUGS软件与R语言通过MCMC法对参数进行估计并预测出未来的122个交易日的波动率，在使用MCMC法前，需要进行几个待定参数的先验分布假设，先验分布的设置影响参数估计结果的准确性，由于在GARCH模型中，我们知道采用非对称模型的拟合效果更好，因此这里我们直接采用带杠杆效应的SV-L模型进行拟合与预测，这里先验分布的设置采取Yu（2005）的方法。

由于极端值总是成聚类存在，因此在剩余的10w次结果中每100个数取一个数作为模拟结果，这样可以降低部分极端值对参数估计的影响，并对模拟后的结果进行描述性统计。具体结果如表5所示。

表5 带杠杆的SV模型参数估计统计结果

由表5上述参数估计结果可知，SV-L模型可以表达为：

3.定价表现

前面小节模拟了不同模型所预测得到的未来122日的波动率，在该小节中将使用蒙特卡罗法结合预测所得的波动率序列对期权进行定价。具体的理论已经在第二节中阐述，其过程可以在MATLAB中实现。在蒙特卡罗定价中，本文采用路径次数为60000，步数1500，此时期权的计算结果已经相对稳定且可信。

为了评价不同波动率模型的定价表现，我们将通过两个损失函数：平均绝对百分比定价误差（MAPE）与相对均方根定价误差（RMSEr）、对定价效率进行定量分析。两种衡量误差的指标具体计算标准如下：

将T-GARCH模型与SV-L模型预测所得的波动率采用蒙特卡罗法进行定价的结果与传统的BS模型的模拟定价结果使用EXCEL进行统计，并与现实市场的期权价格进行对比，所得的折线如图1所示。

图1 cu1908C44000期权定价结果

图2 cu1908C45000期权定价结果

由定价折线图我们可以看出2个波动率模型与基于常数波动率的B-S模型的估计价格走势都能较为准确的描述出实际价格走势，从图形上看，三个模型的预测结果都高估了期权价格，且T-GARCH（1，1）模型与B-S模型的定价结果相比SV-L模型更差。并且随着定价窗口的滚动，SV-L模型的定价结果越来越接近实际价格。由误差指标分析表6可以看出，三种模型的定价效率都相当准确。在平均绝对百分比定价误差与相对均方根定价误差标准下，指标结果都与上文图例观察结果相同。即SV-L模型无论从定价效率还是定价稳定性比T-GARCH（1，1）和B-S模型更高。

表6 实值期权指标分析结果

三、结论

本文采用了数值定价方法——蒙特卡罗法，并结合了GARCH族模型与SV族模型两个波动率模型，使用波动率模型拟合并预测出波动率结合蒙特卡罗法进行定价。实证结果表明：通过随机波动率模型模拟所得的期权价格相比于传统的B-S模型具有更精确且稳定的定价结果，但GARCH族模型的定价结果则效果较差。这说明了随机波动率模型对于沪铜期货期权定价的重要性。