探究知识根源 摭谈数学教学评价——一道硕士研究生入学考试题的解读

陈建华， 王思雨

(扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州225002)

1 引 言

高质量的数学教育呼唤高水平的数学教学.高水平的数学教学需要深入到数学知识背后的本质、过程、思想和结构[1]，与此同时，数学教学评价也应与此保持良好的一致性[2].每天都在涌现的考题、习题是数学教学评价非常重要的方面，从知识根源角度探究考题与习题对于落实高质量的数学教育显然具有十分重要的意义.本文以一道硕士研究生入学考试题作为具体的案例，分析了数学教育实践中如何让数学试题的知识内涵丰富，体现课程教学的重点、涵盖历史背景，通过形成自然流畅的知识链来提升数学解题教学的品格、格局.依据TIMSS 2015和PISA 2015测试模型(主要是测试框架的“内容领域”和“过程领域”两个方面)，对该题进行解读分析，尝试采用现代科学评价理念来研究大学数学试题.

2 本 论

2.1 案例描述，演算寻根

设多项式f(x)=x3-49x-120的三个根为a，b，c，求行列式

的值，其中sk=ak+bk+ck(k=0，1，2，3，…)(2020年哈尔滨工业大学硕士研究生入学考试试题).

虽然待计算的只是一个三阶行列式，但每一个位置的数都是三个数之和，直接计算(利用对角线法则、行列式定义、展开定理或化三角形行列式等)结果既繁且乱.如果发现“每一个位置的数都是三个数之和”这一特性，就可以考虑利用乘法规则来计算，将其改写成两个三阶矩阵乘积的行列式，且恰好对应的是三阶范德蒙行列式.即有

这样，问题转化为求出多项式f(x)=x3-49x-120的三个根a，b，c，进而计算行列式的值.又f(x)=x3-49x-120的根不易求得，这是显然的事实.如果能联想韦达定理，则可用多项式的系数来表示根，转化实施计算.由此，问题进一步转化为：已知a，b，c分别是多项式f(x)=x3-49x-120的三个根，在

关系下求D的值.

如何利用上述三个关系来计算D(a，b，c)=(b-a)2(c-a)2(c-b)2的值呢？因D(a，b，c)是关于a，b，c的对称多项式，对称多项式基本定理自然浮现，故可以先将D(a，b，c)用初等对称多项式表示为

再将σ1=0，σ2=-49，σ3=120代入计算，由此可得D=81796.

本题计算具有较强的技巧性，将多项式的判别式藏匿在计算背后，别具匠心，给学生留足了思维空间.问题看似复杂无从下手，但观察题目结构特征从局部入手，通过一番“整容”“转化”，庞然大物逐渐原形毕露，思路流畅.作为一道硕士研究生入学试题，它明确告诫考生数学需要拿笔来算、来思考，才能理解这个学科，扎实的数学基础需要一定量的演算训练.

2.2 追本溯源，探究关联

解有方，题有源.事实上万物皆有源头，弄清问题的源头才能把握问题的本质，正所谓“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.

2.2.1 判别式

函数与方程是数学的重要主题[3].考题中的三阶行列式

不是杜撰出来，有着重要的学科背景，它实际上是一元三次方程的判别式[4].

对于一元二次方程f(x)=x2+a1x+a2=0，若x1，x2是该方程的两个根，考虑对称多项式D(x1，x2)=(x1-x2)2，则

同样地，对于一元三次方程f(x)=x3+a1x2+a2x+a3=0，若x1，x2，x3是该方程的三个根，则有判别式D(x1，x2，x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2，令

用初等对称多项式σ1，σ2，σ3表示对称多项式D(x1，x2，x3)，则有

这就是考题研究的对象，当然它比一元二次方程的判别式复杂多了.

2.2.2 等幂和

对称多项式sk=ak+bk+ck(k=0，1，2，3，…)被称为等幂和(或简称为幂和)，它的一般形式是

关于等幂和有著名的牛顿(Newton)公式：

定理1[4]当1≤k≤n时

sk-σ1sk-1+σ2sk-2+…+(-1)k-1σk-1s1+(-1)kkσk=0；

当k>n时

sk-σ1sk-1+σ2sk-2+…+(-1)n-1σn-1sk-n+1+(-1)nσnsk-n=0.

利用牛顿公式可以先从sk-1，sk-2，…，s1，σ1，σ2，…，σn计算sk，再借助于范德蒙行列式获得一元n次方程的判别式.比如：不完全三次方程f(x)=x3+ax+b=0，σ1=0，σ2=a，σ3=-b，据牛顿公式得s1=σ1=0，s2=-2a，s3=-3b，s4=2a2，从而

对于本文研究的考题，将a=-49，b=-120代入得

D=-4×(-49)3-27×(-120)2=81796.

设x1，x2，x3是f(x)=x3+ax+1的全部复根.

(ii) 求判别式D(x1，x2，x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2的值；

同样是按照三次方程讨论的习惯，设计的三次多项式(或方程)也是缺少x2项的.当然，这里明确告知计算判别式的值，解题思路的获得就容易多了，由根与系数的关系易知D1=0.

2.2.3 知识点剖析

本题涵盖的知识内容在文献[4]和[5]中都是有的，只是命题者对相关内容进行了有机的建构和巧妙的编制.这里行列式的乘法规则(设A，B为n阶方阵，则有|AB|=|A|·|B|)是问题解决过程中化归的第一步，矩阵的乘法运算

是解决问题的关键，三阶范德蒙行列式

是转化中的意外收获.设f(x)=x3+a1x2+a2x+a3，则有方程的根与系数的关系

即韦达定理的采用是解决方程求根遇到困难时实施第二次转化的自然尝试.第三次化归转化则是基于对称多项式基本定理：

定理2对于任意一个n元对称多项式f(x1，x2，…，xn)都有唯一的n元多项式φ(y1，y2，…，yn)，使得f(x1，x2，…，xn)=φ(σ1，σ2，…，σn)，其中σ1，σ2，…，σn是初等对称多项式.

综上分析，多项式的判别式是本题知识的源头，通过围绕对称多项式基本定理周围的知识生长点不断推广和延伸，考查学生解题功力和应变能力[6].这里，虽然判别式是探究的基石，但命题者始终将“判别式”隐藏起来，希望考生自己去寻找，然后确定计算和推理的方向，更好地感知代数式的恒等变形，领悟数学，形成良好的思维品质.

2.3 立足素养，改进评价

2.3.1 TIMSS 2015 测试观[7]下的解读

国际教育成就评价协会组织的TIMSS测试是基于学校数学课程基础的测试评价.作为“函数与方程”部分的数学内容，本题考查学生能够创造解释，转换行列式、对称多项式、初等对称多项式的多项式等这些关系的符号化表达，代数量的不同表征及其不同表征间的转换的思维习惯的养成情况.依据TIMSS的观点，本题的框架维度列表如下：

表1 TIMSS的数学测试框架维度对照表

矩阵的乘法、行列式和多项式理论等是数学内容方面考查的对象.对多项式理论的态度、知识理解的深度、知识应用的重视程度和具体知识背景的识别程度等信息则是对学生态度和认知的考查.

从TIMSS的课程模型看，本题也很好地反映了多项式理论的预期课程、实施课程和获得课程三个方面[7].对照预期课程，数学专业促成学生对多项式理论及其在一元高次方程根理论中的运用，“判别式”恰是命题背景.高等代数课程老师讲了什么？要求是什么？教学的效果如何？学生的习得是什么？对待数学成就(比如范德蒙行列式、韦达定理和牛顿公式等)的态度，反映了对实施课程情况的检测.期望学生能够进行高阶的数学思维和推理，将对多项式理论的理解力，用于符号化和形式化的数学运算与数学关系，获得问题解决的方法和策略，并准确地阐述，则是获得课程的表现.

2.3.2 PISA 2015 数学素养测试模型[8]下的思考

PISA 2015关注学生应用数学知识和技能解决问题的能力，用“数学素养”来概括数学测试的内容，从数学内容、数学过程和数学情境三个维度描述数学素养(Literacy)的测评框架.所谓数学核心素养是个体在数学学习实践活动中所形成的、在各种社会生活情境中积极运用数学知识和数学思维分析、解决各种问题，发挥数学应用价值，实现自身与社会持续发展的最基本、最具生长性的相关数学素养.这些素养涉及数学知识、能力、情感、态度、价值观等多个方面，PISA 2015数学素养测试框架如图1所示.

图1 数学素养的实践模型(OECD 2015a)

按照PISA 2015数学素养的观点考察本题，对数学内容的测量是从与初等对称多项式、矩阵的乘法、方阵的行列式等相关知识，通过对称多项式的初等对称多项式表示及其计算来解决三次方程的判别式求解问题.题面的表述为多项式f(x)=x3-49x-120的三个根为a，b，c的相关量的计算，将判别式隐藏起来，但隐藏在挑战背后的数学对象形成的量关系链：sk→D→σi→ai，这是外层.从中间层看，考查学生的符号化数学语言表达能力、转化能力和数学运算技能.从里层看，无论数学问题、数学结论，还是数学运用，数学理解深层要求涵盖其中.虽然本题问题情境局限在数学课程层面，但对具体数学问题应用数学概念、程序、工具，通过推理、操作和计算获得结论，仍然是具有挑战性的思维过程.“判别式及其应用”作为隐藏的知识应用情境，起到了将知识应用放在更靠近数学概念中心的位置，体现了选拔性考试的特点.计算中的化归是本题对考生提出的又一个认知要求，如此设计更好的起到“精熟度水平”评价，能够从解答的过程反映考生“知道什么”“能够做什么”“做对了什么”，从而深刻、准确地判断考生的数学素养水平.

3 结 论

数学试题是数学教学评价的重要载体，直接影响评价的科学性、客观性和发展性.综上分析，本试题以多项式的判别式为背景，以等幂和、行列式等形式呈现，将范德蒙行列式、矩阵运算、对称多项式、初等对称多项式融为一体，综合性强.虽然考查是数的运算，但不论从多项式根与系数的关系，还是牛顿公式思考都需要经历一定的转化过程，体现了对课程内容认知领域和认知能力考核的要求.

数学教材往往是习题的内容之根、方法之根、思想之根.从课程教学看，本题有着极强的本质归属性，源于课本又高于课本.从PISA和TIMSS数学测评看，本题很好地体现出以问题解决和核心素养为重心的测评设计理念.试题的设计以核心知识为载体，通过恰当的问题情境，聚焦数学学科核心素养，关注了学生对知识的概念性理解，达到考查学生核心能力的测量目标.“问题”中数学知识的整合引发“深学”幽静的高境界，能发挥诊断教学效果、激励学生学习的作用，达到竞争功能、鉴别和选择的功能的命题目的.该题是一道高质量的数学试题.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见，感谢潘小明教授提出的修改建议.