水下非均匀环肋圆柱壳多学科设计优化

李静茹，刘江，黎胜*

1 海南大学 机电工程学院，海南 海口 570228

2 大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室 船舶工程学院，辽宁 大连 116024

0 引 言

舰艇声隐身总体设计是一个多学科设计优化问题，涉及了结构力学、振动、声学等学科。目前，常用的设计方法是串行设计方法，此方法人为割裂了各学科间的耦合关系，得到的设计结果会降低系统的总体性能。多学科设计优化(multidisciplinary design optimization, MDO)是 近 几 年发展起来的旨在提高复杂工程问题优化设计效率的一种分解策略。有别于传统的串行设计方法，多学科设计优化采用的是并行设计方法，不仅可提高效率，还可提高系统的整体性能。实际上，多学科设计优化是一种通过探索和利用工程系统中相互作用的协调机制来设计复杂产品及其子系统的方法[1]，其主流算法是基于分解技术的多级优化算法[2]，而分级目标传递法 (analytical target cascading, ATC）就是典型算法之一，其收敛性已得到证明，可以收敛到全局最优点[3]。

多学科设计优化在水下结构振动声辐射领域的应用研究比较少。陈炉云等[4]基于iSIGHT 多学科优化设计软件，以结构模态频率和节点加速度为目标函数，对环肋圆柱壳进行了结构优化。黎胜[5]基于传统目标传递法进行了水下加筋板振动声辐射设计优化，证明了多学科设计优化方法应用的有效性。但是，相对于水下加筋板模型，实际设计中的结构都比较复杂，设计变量和目标函数会更多，从而大大增加了传统目标传递法的收敛难度。因此，本文采用改进的目标传递法[6]，以典型的水下环肋圆柱壳结构（例如水下航行器）为例，验证此方法在保证总体性能优化的同时具有更好的收敛性。

对于水下结构而言，动态性能的计算依赖于高精度的数值模型（例如有限元/边界元耦合方法），此类模型计算量大且耗时，无法完成整个过程的优化，而使用代理模型（例如Kriging 代理模型）是解决此问题的可行方法。鉴于代理模型可以较好地实时预报水下相对复杂结构的振动声辐射性能，本文以Kriging 代理模型作为优化过程中的分析模型来代替高精度数值模型。

舰艇总体设计对于轻量化、强度以及振动和声辐射等多个学科方面都有严格的要求。本文拟通过研究水下环肋圆柱壳的多学科设计优化方法，在满足多学科要求的前提下，为最优设计方法研究提供思路。首先，利用有限元/边界元方法（FEM/BEM）计算样本点响应数据，建立Kriging代理模型，以此作为设计优化过程中的目标响应分析模型；然后，将代理模型作为分析模型，分别利用传统和改进的目标传递方法对水下非均匀环肋圆柱壳进行设计优化；最后，通过结果对比，验证所用方法的有效性和优越性。

1 理 论

1.1 改进的目标传递法

目标传递法[7]是一种基于分解技术的多层次、多学科优化策略，适用于大规模的复杂工程问题，具有响应和连接变量在不同层级之间按顺序传递及反馈的特点。不同于其他多学科优化算法（例如协同优化），目标传递法计算信息的传递发生在上、下两层级完全优化之后，所以显著减少了学科级优化的次数[8]。

为了增强分解后上、下层级之间参数变量的一致性，需要对目标传递法中的偏差项作一定的处理。通常，是在偏差项上乘以一个较大的正数，在相同容许误差下，偏差项本身会变得相对较小。但是，此处理方法也有一个弊端，即大权重系数会在最优解附近导致数值的不稳定性。因此，本文摒弃采用大权重系数，转而在目标传递法中设置拉格朗日乘子，利用对偶原理求解。

设置了拉格朗日乘子的改进目标传递法的数学表达式被分解为系统级和学科级问题来表达。

系统级问题：

图1 所示为上述信息交换的流程。

图1 目标传递法信息交换流程图Fig. 1 Flow chart of information exchange in Target Cascading

通过求解原问题对偶问题的次梯度，得到拉格朗日乘子的迭代形式如下：

一般地，分为两级问题的改进目标传递法的步骤如下：

1) 设迭代次数为0，在系统级给定初始拉格朗日乘子值，以及从学科级传递来的初始响应值和初始连接变量值；

2) 求解系统级；

3) 将求解的响应值和连接变量值传递给学科级问题；

4) 对学科级的每个子问题进行求解，注意将系统级传递来的响应和连接变量作为常量处理；

5) 分别计算响应偏差项和连接变量偏差项，若任意子系统的偏差项小于容许误差，则迭代停止，计算完成。否则，转向下一步骤；

6) 将学科级计算得到的响应和连接变量向上传递给系统级；

7) 对拉格朗日乘子进行迭代；

8) 若i=i+1，返回步骤2。

对于更多级数的改进目标传递法，可以通过重复使用或任意组合系统级和学科级来构成更为复杂的分解形式。

1.2 Kriging 代理模型

利用数值模型求解水下非均匀环肋圆柱壳的振动声辐射问题所需的计算非常耗时，且计算量也过大，所以在设计优化过程中一般采用代理模型来替代高精度的数值模型。

常用的代理模型构建方法包括多项式响应面法、径向基方法、人工神经网络方法和Kriging 方法等[10-13]。目前，Kriging 方法已成为用于多学科设计优化的一种具有代表性的代理模型。构建Kriging 代理模型一般需要采取如下步骤：

1) 确定设计变量，通过实验设计方法得到构建代理模型所需的样本点；

2) 利用高精度数值模型，计算每个样本点相应的响应值；

3) 根据样本点及其相应的响应值构建Kriging代理模型；

4) 在设计空间内任选一点，比较分别经代理模型和高精度数值模型计算得到的结果，以验证代理模型的精度。

Kriging 代理模型的一般数学表达式为

由式（8），可求解得到方差 σ2的估计值。

空间相关函数中的未知参数由极大似然估计方法得到，如式（9）所示。

1.3 非均匀环肋圆柱壳分析模型

1.3.1 强度分析

均匀环肋圆柱壳强度的计算一般包括静水压力下表征强度的3 个应力分量[14]，即肋骨处壳板横剖面正应力最大值 σ1、相邻肋骨中点壳板纵剖面正应力最大值 σ2、肋骨横剖面正应力最大值σf。这3 个应力分量都已经有明确的解析解。本文研究的环肋圆柱壳因肋骨尺寸不等，且肋距不同，上述解析解不再适应。鉴此，本文采用有限元方法来处理此问题，忽略环肋圆柱壳两端集中应力的影响，计算在一定工作载荷下整个肋距范围内的壳板横剖面的正应力、壳板纵剖面正应力以及所有肋骨横剖面正应力的最大值。

1.3.2 振动声辐射

有限元法是一种全域数值方法，它要求在整个求解域内离散，直接导致了计算模型变得庞大复杂，且求解无限域的问题时也是在有限域外表面设置无限吸收边界来近似模拟，从而影响了计算精度。因此，本文采用有限元/边界元耦合方法求解水下非均匀环肋圆柱壳的振动声辐射性能。

首先，建立结构与流体耦合的有限元方程，即

然后，利用边界元方法，将Helmhotlz 积分方程变为如下代数方程的形式：

2 算例分析

2.1 环肋圆柱壳参数设置

图2 所示为建立的非均匀环肋圆柱壳有限元模型，其两端截面的最外圆周线固支。环肋圆柱壳的非均匀是指肋骨尺寸、肋距不等。本文研究中肋骨布置关于中间对称，共19 根，由左至右依次编号。其中，编号8，9，10，11，12 的肋骨腹板高度最大，编号13，14，15，5，6，7 的腹板高度次之，剩余编号的肋骨腹板高度最小。肋骨截面形状为T 型截面，肋距为中间小、两端大。为方便优化设计，将肋距写成等差数列形式来完成非均匀设定。但是，不同于文献[15]，本文仅对几种不同的离散情况进行了分析，即将3 种肋骨腹板高度（h1，h2，h3）都作为连续变量来确定其最优解。

图2 非均匀环肋圆柱壳有限元模型Fig. 2 FEM model of non-uniform stiffened cylindrical shells

非均匀环肋圆柱壳的设计变量取为6 个，分别是从中间肋骨开始的第1 档肋距l、肋距公差Δl、3 种肋骨腹板高度h1，h2，h3以及圆柱壳壳板厚度t。表1 所示为6 个变量的取值范围。

表1 设计变量及取值范围Table 1 Design variables and their range

考虑轻量化、强度以及振动和声辐射方面的要求，建立了6 个目标函数，包括：环肋圆柱壳的质量M；整个肋距范围内的壳板横剖面正应力最大值 σ1； 壳板纵剖面正应力最大值 σ2；肋骨横剖面正应力的最大值 σf；结构1-2 阶共振频率f1；结构1-2 阶共振频率处的声功率W。按照优化目标，希望在小于屈服极限的情况下最大化3 个应力分量和1-2 阶共振频率，以及最小化共振频率处的声功率级和圆柱壳质量。

根据目标传递法的要求，将此优化问题分为系统级和学科级。分解前，首先可以求出给各学科的最优响应，并将其作为理想目标值；然后，建立系统级和学科级的优化流程。系统级优化目标是协调各学科的一致性，以及最小化所有学科目标函数与理想目标间的偏差；学科级优化目标是最小化各学科与系统级传递过来的响应和连接变量之间的偏差值。值得注意的是，对于质量学科而言，连接变量只有后4 个设计变量。图3 所示为非均匀环肋圆柱壳多学科优化的组织结构。

图3 非均匀环肋圆柱壳多学科优化组织结构图Fig. 3 Flowchart of MDO in non-uniform stiffened cylindrical shells

2.2 建立Kriging 代理模型

建立Kriging 模型与选取的样本点有着重要关系。样本点数量、空间相关性影响着Kriging模型的精度。科学合理地选取样本点是实验设计的主要内容。本文选用最优对称拉丁超立方体抽样方法来选择样本点。使用此方法选取的样本点数量一般为设计变量个数的4 倍。当然，如果预测的响应在设计空间内变化剧烈，也可以多选择一些样本点来达到更好的全局近似。本文选取24 个样本点，利用有限元/边界元方法计算24 种情况下的响应值，并建立了实时预报设计空间内任一点响应值的代理模型，再选取(0.1，0.11，0.27，0.25，0.12，0.028)和(0.09，0.099，0.243，0.225，0.108，0.025 2)这2 个非样本点（分别记为预测点1 和2）来检验所建代理模型的精度。表2 示出了采用有限元耦合方法求得的各响应值与基于代理模型得到的响应值的对比结果。由表可见，基于代理模型的计算结果与常规数值模型方法所得结果最大相差3.5%，最小相差0.084 2%。最大误差在允许范围内[16]，这说明由24 个样本点建立的Kriging 模型预测精度较高，在设计优化过程中可以代替数值模型作为目标响应值的分析模型。

表2 基于代理模型和常规数值模型的响应值Table 2 Responses calculated by surrogate model and conventional numerical model

2.3 基于改进目标传递法的优化结果

将所建的Kriging 代理模型作为分析模型，根据1.2 节所述步骤求解。本文改进的目标传递法设置的容许误差为0.01。值得注意的是，为了尽量减少各优化目标因不同的绝对值及其取值范围带来的不同相对权重，避免结果“偏向”某一学科，本文将各目标值除以目标初始值进行了无量纲化，旨在一定程度上减少这种倾斜，然而仍然不能完全消除此影响[4]。

表3 为分别通过改进的目标传递法和传统的目标传递法得出的结果，即通过改进目标传递法得到的6 个设计变量优化结果为(0.1，0.111，0.270 4，0.254，0.121，0.022 4)，记为结果1；通过传统的目标传递法得到的优化结果为(0.082 5，0.09，0.217，0.201，0.097，0.026 6)，记为结果2。由表可见：相较于初始值，两种目标传递法在6 个目标函数上都达到了更好的优化效果：应力分量、1-2 阶共振频率更大，共振频率处的声功率级和圆柱壳质量更小；在整个肋距范围内，对于包括壳板横剖面正应力最大值 σ1、 壳板纵剖面正应力最大值 σ2、肋骨横剖面正应力的最大值 σf和结构1-2 阶共振频率f1这4 个目标函数，改进的目标传递法比传统的目标传递法都得到了较大的值，即优化效果更好；改进的目标传递方法对声功率级（共振频率处的声功率级）W和环肋圆柱壳质量M目标函数的优化结果比传统的目标传递法要大，即优化效果较差，但增大的最大幅度为声功率级目标，只有0.9%。当传统的目标传递法达到收敛后，计算第1 级和第2 级每个学科的响应以及相应连接变量的偏差，用向量的二范数度量。由于学科级有6 个不同的目标，因此可以得到6 个偏差值(壳板横剖面正应力最大值偏差 Δσ1、壳板纵剖面正应力最大值偏差 Δσ2、肋骨横剖面正应力的最大值偏差 Δσf、结构1-2 阶共振频率偏差 Δf1、共振频率处的声功率级偏差 ΔW、环肋圆柱壳质量偏差ΔM)，如表4 所示。由表可见，最小的偏差值为0.014 3，而改进的目标传递法得到的最小偏差值小于0.01 才会达到收敛标准。可见，利用拉格朗日对偶原理得到的改进目标传递法其收敛性强于传统的目标传递法。

表3 优化结果Table 3 Optimization results

表4 传统目标传递法学科级与系统级的偏差值Table 4 Deviation terms between system level and discipline level in conventional ATC

综合表3 和表4 的数据可知：改进的目标传递法在壳板横剖面正应力最大值 σ1、壳板纵剖面正应力最大值 σ2、肋骨横剖面正应力的最大值σf和结构1-2 阶共振频率f1这4 个目标函数上与传统的目标传递法相比，达到了更好的优化效果，且其他2 个目标函数的优化结果与传统的目标传递法相差无几；在此基础上，改进的目标传递法比传统的目标传递法还具有更好的收敛性。因此，本文提出的利用拉格朗日对偶原理的改进目标传递法优于传统的目标传递法。

3 结 语

本文利用Kriging 代理模型和改进的目标传递法完成了水下非均匀环肋圆柱壳的多学科优化。首先，根据水下航行器的轻量化、强度以及振动和声辐射方面的要求，选取了第1 档肋距、肋距公差、3 种肋骨腹板高度、圆柱壳板厚度作为设计变量，质量、应力、共振频率、共振频率处的声功率级作为目标函数进行优化；然后，选用最优对称拉丁超立方体抽样方法选取样本点，利用有限元/边界元方法对样本点的响应进行数值计算，利用计算结果建立Kriging 代理模型，并计算验证了其精度；最后，为了保证优化结果的收敛性，利用引入拉格朗日乘子的改进目标传递法，基于6 个设计变量，对6 个目标函数进行了优化设计。结果表明，代理模型预报的结果与常规数值模型所得结果最大相差3.5%，因此，采用Kriging 代理模型来代替高精度的数值计算模型有效地解决了计算量过大、计算时间过长的问题，且具有较高的精度；使用改进的目标传递法可以得到与传统的目标传递法基本相同的优化结果，且其收敛性相较于传统的目标传递法提高了30%。水下非均匀环肋圆柱壳是水下航行器的经典简化模型，其性质和工况相比于实际的水下航行器结构比较简单，后续还可利用本文方法，对典型的实际水下航行器结构进行优化设计，以检验本文方法在实际生产中的适用性，以增强分析方法的稳定性，最终达到在实际生产中指导水下航行器设计的目的。